Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. В данной задаче мы имеем арифметическую прогрессию, заданную первыми тремя членами: 4, 7, 10.
Шаг 1: Определим элементы прогрессии
Первый член (a1) прогрессии:
[ a_1 = 4 ]
Второй член (a2) прогрессии:
[ a_2 = 7 ]
Третий член (a3) прогрессии:
[ a_3 = 10 ]
Шаг 2: Найдем разность прогрессии
Разность прогрессии (d) — это разность между любыми двумя последовательными членами. Мы можем взять, например, разность между вторым и первым членами:
[
d = a_2 - a_1 = 7 - 4 = 3
]
Проверим разность между третьим и вторым членом:
[
d = a_3 - a_2 = 10 - 7 = 3
]
Разность составила 3 в обоих случаях, значит, d = 3.
Шаг 3: Формула n-го члена арифметической прогрессии
Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:
[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
]
где ( a_1 ) — первый член прогрессии, ( d ) — разность, ( n ) — номер члена.
Шаг 4: Найдем сумму первых n членов
Сумма первых n членов арифметической прогрессии (S_n) вычисляется по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
где ( a_n ) — n-й член прогрессии.
Шаг 5: Найдем 30-й член прогрессии
Подставим n = 30 в формулу n-го члена:
[
a_{30} = a_1 + (30 - 1) \cdot d = 4 + (29) \cdot 3 = 4 + 87 = 91
]
Шаг 6: Найдем сумму первых 30 членов
Теперь подставим значения в формулу суммы:
[
S_{30} = \frac{30}{2} \cdot (a_1 + a_{30}) = 15 \cdot (4 + 91) = 15 \cdot 95
]
Рассчитаем:
[
S_{30} = 15 \cdot 95 = 1425
]
Ответ
Сумма первых 30 членов данной арифметической прогрессии составляет 1425.
