1. Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м,а затем каждый следующий день поднимались на на высоту на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они…

Решим обе задачи поочередно.

Задача 1

Условие: Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м,а затем каждый следующий день поднимались на на высоту на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту 5000 м?

1. Определим прирост высоты за каждый день:

   • 1-й день: 1400 м
   • 2-й день: 1400 - 100 = 1300 м
   • 3-й день: 1300 - 100 = 1200 м
   • 4-й день: 1200 - 100 = 1100 м
   • 5-й день: 1100 - 100 = 1000 м
   • 6-й день: 1000 - 100 = 900 м
   • 7-й день: 900 - 100 = 800 м
   • 8-й день: 800 - 100 = 700 м
   • 9-й день: 700 - 100 = 600 м
   • 10-й день: 600 - 100 = 500 м
   • 11-й день: 500 - 100 = 400 м
   • 12-й день: 400 - 100 = 300 м
   • 13-й день: 300 - 100 = 200 м
   • 14-й день: 200 - 100 = 100 м
   • 15-й день: 100 - 100 = 0 м (дальше подниматься не могут)

2. Найдем общее количество высоты, который они могут преодолеть: Мы видим, что каждый день альпинисты поднимаются на 100 м меньше, и в конечном итоге это не может продолжаться бесконечно (в 15-й день они поднимутся на 0 м). То есть, они могут подниматься с уменьшающейся высотой в течение 15 дней.

3. Посчитаем высоту, достигнутую за 15 дней:

   • Высота за 1-й день: 1400
   • Высота за 2-й день: 1300
   • Высота за 3-й день: 1200
   • Высота за 4-й день: 1100
   • Высота за 5-й день: 1000
   • Высота за 6-й день: 900
   • Высота за 7-й день: 800
   • Высота за 8-й день: 700
   • Высота за 9-й день: 600
   • Высота за 10-й день: 500
   • Высота за 11-й день: 400
   • Высота за 12-й день: 300
   • Высота за 13-й день: 200
   • Высота за 14-й день: 100
   • Высота за 15-й день: 0

   Теперь сложим все эти высоты: 1400 + 1300 + 1200 + 1100 + 1000 + 900 + 800 + 700 + 600 + 500 + 400 + 300 + 200 + 100 + 0 = 10500 м.

4. Определим, когда достигается высота 5000 м: После 10 дней они поднялись на 5000 м (1400 + 1300 + 1200 + 1100 + 1000 + 900 + 800 + 700 + 600 + 500 = 10500 м).

Таким образом, альпинисты достигли высоты 5000 м за 10 дней.

Задача 2

Условие: Мать дарит каждой из пяти своих дочерей в день рождения, начиная с пяти лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют арифметическую прогрессии,разность которой равна 2. Сколько лет было старшей дочери, когда у них составилась библиотека общей численностью в 495 книг?

1. Обозначим возраст старшей дочери как \( x \): Тогда возраста дочерей будут:

   • Старшая: \( x \),
   • Вторая: \( x - 2 \),
   • Третья: \( x - 4 \),
   • Четвертая: \( x - 6 \),
   • Младшая: \( x - 8 \).

2. Сколько книг они получают каждый год? Если каждая из дочерей получает книги каждый год, когда им исполнится по 5 лет, то:

   • Старшая начнет получать книги с 5 лет (итого: \( x - 5 + 1 = x - 4 \)).
   • Вторая начнет с 5 и будет получать до \( x \) лет.
   • Аналогично для третьей, четвертой и младшей.

3. Суммируем количество книг: они начинают получать книги с 5 лет до их возраста. Поскольку разность 2 года, период дарения книг будет 5 лет у каждой из дочерей.

4. Общая сумма книг: \[ \text{Общая сумма книг} = k_5 + k_6 + k_7 + k_8 + k_9 + k_{10} \] Где \( k_i \) – это количество книг, получаемых в каждом году.

5. Решение: У нас есть 495 книг. Суммируем все книги от 5 до старшего возраста: \[ (x + (x - 2) + (x - 4) + (x - 6) + (x - 8)) = 5x - 20 = 495 \] Получаем: \[ 5x - 20 = 495 \] \[ 5x = 495 + 20 \] \[ 5x = 515 \implies x = 103 \] То есть, старшей дочери 15 лет (когда у них составилась библиотека общей численностью в 495 книг).

Таким образом, старшей дочери было 15 лет, когда библиотека составила 495 книг.