2. Вычислите интеграл integrate (x - 3x ^ 2) dx
Для решения задачи вычисления интеграла \( \int (x - 3x^2) \, dx \) давайте сделаем это шаг за шагом.
Шаг 1: Разделим интеграл на слагаемые
Мы можем разбить данный интеграл на два простых интеграла: \[ \int (x - 3x^2) \, dx = \int x \, dx - \int 3x^2 \, dx \]
Шаг 2: Вычислим каждый интеграл отдельно
- Интеграл \( \int x \, dx \)
По правилу интегрирования, \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), где \( C \) — произвольная константа, и \( n \neq -1 \).
Здесь \( n = 1 \): \[ \int x \, dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C_1 \]
- Интеграл \( \int 3x^2 \, dx \)
Аналогично, здесь \( n = 2 \): \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C_2 = x^3 + C_2 \]
Шаг 3: Соберем результаты вместе
Теперь подставим полученные интегралы обратно в уравнение: \[ \int (x - 3x^2) \, dx = \frac{x^2}{2} - (x^3) + C \] Здесь \( C \) — это новая произвольная константа, которая объединяет \( C_1 \) и \( C_2 \).
Ответ
Таким образом, окончательный результат интеграла будет: \[ \int (x - 3x^2) \, dx = \frac{x^2}{2} - x^3 + C \] где \( C \) — произвольная константа.
Заключение
Вычисление интеграла требует знания основных правил интегрирования. В этом случае мы использовали стандартные формулы для интегралов степени \( x \). Если у вас есть вопросы по этой теме или другим аспектам интегрирования, не стесняйтесь спрашивать!
