Для решения задачи вычисления интеграла ( \int (x - 3x^2) , dx ) давайте сделаем это шаг за шагом.
Шаг 1: Разделим интеграл на слагаемые
Мы можем разбить данный интеграл на два простых интеграла:
[
\int (x - 3x^2) , dx = \int x , dx - \int 3x^2 , dx
]
Шаг 2: Вычислим каждый интеграл отдельно
- Интеграл ( \int x , dx )
По правилу интегрирования, ( \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ), где ( C ) — произвольная константа, и ( n \neq -1 ).
Здесь ( n = 1 ):
[
\int x , dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C_1
]
- Интеграл ( \int 3x^2 , dx )
Аналогично, здесь ( n = 2 ):
[
\int 3x^2 , dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C_2 = x^3 + C_2
]
Шаг 3: Соберем результаты вместе
Теперь подставим полученные интегралы обратно в уравнение:
[
\int (x - 3x^2) , dx = \frac{x^2}{2} - (x^3) + C
]
Здесь ( C ) — это новая произвольная константа, которая объединяет ( C_1 ) и ( C_2 ).
Ответ
Таким образом, окончательный результат интеграла будет:
[
\int (x - 3x^2) , dx = \frac{x^2}{2} - x^3 + C
]
где ( C ) — произвольная константа.
Заключение
Вычисление интеграла требует знания основных правил интегрирования. В этом случае мы использовали стандартные формулы для интегралов степени ( x ). Если у вас есть вопросы по этой теме или другим аспектам интегрирования, не стесняйтесь спрашивать!
