Дано: угол BAD = углу BCD = 90 градусов. Угол ADB = 15 градусов. Угол BDC = 75 градусов. Доказать AB параллельна CD.

Дано:

1. Угол \( BAD = 90^\circ \)
2. Угол \( BCD = 90^\circ \)
3. Угол \( ADB = 15^\circ \)
4. Угол \( BDC = 75^\circ \)

Решение:

По свойству смежных углов можно сказать, что сумма сплошных углов:

\[ \angle ADB + \angle DBC = 90^\circ \]

Поскольку \( \angle BDC = 75^\circ \), то можем рассмотреть:

\[ \angle ABC = \angle ADB + \angle DBC = 15^\circ + \angle DBC \]

Также мы знаем, что сумма углов треугольника \( BDC \):

\[ \angle BDC + \angle DBC + \angle DCB = 180^\circ \]

Подставим известные углы \( \angle BDC = 75^\circ \):

\[ 75^\circ + \angle DBC + \angle DCB = 180^\circ \]

Таким образом:

\[ \angle DBC + \angle DCB = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \]

Также известно, что:

\[ \angle DCB = 90^\circ - \angle ADB = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ \]

Теперь сопоставим:

\[ \angle ABC + \angle DCB = 180^\circ \]

Рассмотрим:

\[ \angle ABC = 15^\circ + 30^\circ = 105^\circ \]

Таким образом:

\[ \angle ABC + \angle DCB = 15^\circ + 75^\circ = 90^\circ \]

Итак, мы можем сказать, что если \( AB \) и \( CD \) пересечены поперечной прямой \( BD \), и углы \( ADB \) и \( DBC \) равны, то по теореме о параллельных прямых:

\[ AB \| CD \]

Поэтому мы доказали, что \( AB \) параллельно \( CD \).