В треугольнике M N K MNK ∠ M = 90 ° ∠M=90° , ∠ N = 30 ° ∠N=30° , M K = 102 MK=102 . Чему равна гипотенуза этого треугольника?
Решим задачу по нахождению гипотенузы треугольника \( MNK \), где \( \angle M = 90^\circ \), \( \angle N = 30^\circ \) и \( MK = 102 \).
Определим угол K: В треугольнике сумма всех углов равна \( 180^\circ \). Мы знаем два угла: \[ \angle M + \angle N + \angle K = 180^\circ \] Подставим известные углы: \[ 90^\circ + 30^\circ + \angle K = 180^\circ \] Тогда: \[ \angle K = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
Определим дополнительные элементы треугольника: Теперь мы знаем все углы треугольника \( MNK \):
- \( \angle M = 90^\circ \) (прямой угол)
- \( \angle N = 30^\circ \)
- \( \angle K = 60^\circ \)
Треугольник является прямоугольным с углом в \( 30^\circ \) и углом в \( 60^\circ \).
Используем соотношения для треугольников с углом 30°: В прямоугольном треугольнике со сторонами, противоположными углам \( 30^\circ \), \( 60^\circ \) и \( 90^\circ \) действуют следующие соотношения:
- Сторона, противоположная углу \( 30^\circ \) (которая в нашем треугольнике является стороной \( MN \)), равна \( \frac{1}{2} \) гипотенузы.
- Сторона, противоположная углу \( 60^\circ \) (это сторона \( MK \)), равна \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) гипотенузы.
Обозначим гипотенузу \( NK \) как \( c \).
Мы знаем: \[ MK = \frac{\sqrt{3}}{2}c \]
Найдем гипотенузу: Подставим известное значение \( MK = 102 \): \[ 102 = \frac{\sqrt{3}}{2}c \]
Решим это уравнение для \( c \): \[ c = \frac{102 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{204}{\sqrt{3}} \approx 70.69 \] Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим и разделим на \( \sqrt{3} \): \[ c = \frac{204 \sqrt{3}}{3} = 68 \sqrt{3} \approx 118.32 \]
Ответ: Гипотенуза \( NK \) равна \( \frac{204}{\sqrt{3}} \) или примерно \( 118.32 \).
