1. Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м,а затем каждый следующий день поднимались на на высоту на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они…

Давайте разберем обе задачи поочередно.

Задача 1:

Условие: Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день поднимались на высоту на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту 5000 м?

Решение:

1. Определим высоту, на которую поднимаются альпинисты каждый день.

   • Первый день: 1400 м.
   • Второй день: 1400 - 100 = 1300 м.
   • Третий день: 1300 - 100 = 1200 м.
   • Четвертый день: 1200 - 100 = 1100 м.
   • Пятый день: 1100 - 100 = 1000 м.
   • Шестой день: 1000 - 100 = 900 м.
   • Седьмой день: 900 - 100 = 800 м.
   • Восьмой день: 800 - 100 = 700 м.
   • Девятый день: 700 - 100 = 600 м.
   • Десятый день: 600 - 100 = 500 м.
   • Одиннадцатый день: 500 - 100 = 400 м.
   • Двенадцатый день: 400 - 100 = 300 м.
   • Тринадцатый день: 300 - 100 = 200 м.
   • Четырнадцатый день: 200 - 100 = 100 м.
   • Пятнадцатый день: 100 - 100 = 0 м (последний день, когда можно подниматься).

   Таким образом, максимальная высота, на которую альпинисты могут подняться, уменьшается до 0 м через 15 дней.

2. Сложим высоты:

   • Высота за 1-й день: 1400 м.
   • Высота за 2-й день: 1300 м.
   • Высота за 3-й день: 1200 м.
   • Высота за 4-й день: 1100 м.
   • Высота за 5-й день: 1000 м.
   • Высота за 6-й день: 900 м.
   • Высота за 7-й день: 800 м.
   • Высота за 8-й день: 700 м.
   • Высота за 9-й день: 600 м.
   • Высота за 10-й день: 500 м.
   • Высота за 11-й день: 400 м.
   • Высота за 12-й день: 300 м.
   • Высота за 13-й день: 200 м.
   • Высота за 14-й день: 100 м.
   • Высота за 15-й день: 0 м.

3. Сложим высоты: \[ 1400 + 1300 + 1200 + 1100 + 1000 + 900 + 800 + 700 + 600 + 500 + 400 + 300 + 200 + 100 = 7,500 \, \text{м} \] Нам нужно знать, когда они достигнут 5000 м.

4. Суммируем постепенно:

   • 1-й день: 1400 м.
   • 2-й день: 1400 + 1300 = 2700 м.
   • 3-й день: 2700 + 1200 = 3900 м.
   • 4-й день: 3900 + 1100 = 5000 м.

Таким образом, альпинисты покорили высоту 5000 м за 4 дня.

Задача 2:

Условие: Мать дарит каждой из пяти своих дочерей в день рождения, начиная с пяти лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 2. Сколько лет было старшей дочери, когда у них составилась библиотека общей численностью в 495 книг?

Решение:

1. Обозначим возраст старшей дочери как \( x \).
   Тогда возрасты дочерей будут:

   • Старшая: \( x \)
   • Предпоследняя: \( x - 2 \)
   • Средняя: \( x - 4 \)
   • Вторая: \( x - 6 \)
   • Младшая: \( x - 8 \)

2. Суммируем количество книг, которое каждая из дочерей получала в день рождения.
   Когда каждой из дочерей было на 5 лет (начиная с 5), они получили: \[ (x) + (x - 2) + (x - 4) + (x - 6) + (x - 8) = 5x - 20 \]

3. Сравним это количество с общей численностью книг: \[ 5x - 20 = 495 \]

4. Решаем уравнение для \( x \): \[ 5x - 20 = 495 \\ 5x = 495 + 20 \\ 5x = 515 \\ x = \frac{515}{5} = 103 \]

Таким образом, старшей дочери было 103 годы, когда у них составилась библиотека общей численностью в 495 книг.

Итак, возрасты дочерей:

• Старшая: 103 года
• Предпоследняя: 101 год
• Средняя: 99 лет
• Вторая: 97 лет
• Младшая: 95 лет

Это позволяет нам убедиться в том, что библиотека составила 495 книг.