Для решения данной задачи применим принцип сохранения тепла, то есть количество теплоты, которое передается от горячей воды холодной, будет равно количеству теплоты, которым поделится горячая вода с холодной. В этой задаче нам не нужно учитывать теплоемкость стакана и тепловые потери.
Обозначим:
- ( T_1 = 100^\circ C ) — температура кипятка,
- ( T_2 = 25^\circ C ) — температура холодной воды,
- ( T_f ) — конечная температура смеси,
- ( V_1 ) — объем кипятка, который мы не знаем,
- ( V_2 ) — объем холодной воды.
Из условия задачи знаем, что стакан на 2/3 заполнен кипятком. Обычно стакан имеет объем ( V = 1 ) л (или 1000 мл), поэтому объем кипятка:
[ V_1 = \frac{2}{3} \cdot 1000 , мл = \frac{2000}{3} , мл \approx 667 , мл ]
Остальная часть стакана (1/3) — это объем холодной воды:
[ V_2 = \frac{1}{3} \cdot 1000 , мл = \frac{1000}{3} , мл \approx 333 , мл ]
Теперь, учитывая, что тепло, теряемое кипятком, равно теплу, получаемому холодной водой, можем записать уравнение:
[
m_1 \cdot c \cdot (T_1 - T_f) = m_2 \cdot c \cdot (T_f - T_2)
]
где ( m_1 ) и ( m_2 ) — массы (которые пропорциональны объемам), и ( c ) — удельная теплоемкость воды (которая в обеих частях уравнения сокращается).
Как известно, масса воды можно выразить через объем: ( m = \rho \cdot V ), где плотность воды ( \rho \approx 1 , г/см^3 ) (или ( 1000 , кг/м^3 )). Следовательно, у нас будет:
- ( m_1 = V_1 \cdot 1 , г/мл = \frac{2000}{3} , г )
- ( m_2 = V_2 \cdot 1 , г/мл = \frac{1000}{3} , г )
Теперь подставим массы в уравнение:
[
\frac{2000}{3} \cdot (100 - T_f) = \frac{1000}{3} \cdot (T_f - 25)
]
Упрощаем уравнение, убирая общий множитель ( \frac{1}{3} ):
[
2000 \cdot (100 - T_f) = 1000 \cdot (T_f - 25)
]
Раскроем скобки:
[
200000 - 2000 T_f = 1000 T_f - 25000
]
Соберем все термины с ( T_f ) с одной стороны, а числа – с другой:
[
200000 + 25000 = 2000 T_f + 1000 T_f
]
[
225000 = 3000 T_f
]
Теперь найдём ( T_f ):
[
T_f = \frac{225000}{3000} = 75^\circ C
]
Итак, конечная температура воды в стакане составляет ( 75^\circ C ).
Ответ: Температура воды в стакане установится примерно 75 °C.
