в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C внешний угол при вершине а равен 120°, AC + AB = 18 см.Найдите AC и AB

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.
• Внешний угол при вершине A = 120°.
• AC + AB = 18 см.

Обозначим:

• AC = x
• AB = y

Так как в треугольнике ABC угол A + угол C + угол B = 180°, и угол C = 90°, мы можем записать, что:

\[ \angle B = 180° - 120° = 60° \]

В треугольнике ABC по свойству углов:

\[ \angle A + \angle B = 90° \]

Следовательно, угол A = 30°.

Используя соотношение в прямоугольном треугольнике, применим синусы и косинусы:

\[ \frac{AC}{AB} = \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Отсюда можно выразить \( AC \):

\[ AC = \frac{AB}{\sqrt{3}} \]

Подставим это в уравнение \( AC + AB = 18 \):

\[ \frac{AB}{\sqrt{3}} + AB = 18 \]

Объединяем в одно уравнение:

\[ AB \left(\frac{1}{\sqrt{3}} + 1\right) = 18 \]

Выразим \( AB \):

\[ AB \left(\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right) = 18 \] \[ AB = \frac{18\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \approx 10.39 \text{ см} \]

Теперь подставим значение \( AB \):

\[ AC = 18 - AB \approx 7.61 \text{ см} \]

Ответ:

• AC ≈ 7.61 см
• AB ≈ 10.39 см

Проверим: \[ AC + AB = 18 \text{ см} \] и соотношение сторон.