Вычисли. cos ⁡ 46 𝜋 3

Для вычисления выражения \( \cos \left( \frac{46\pi}{3} \right) \) нам нужно упростить угол, потому что косинус — это периодическая функция с периодом \( 2\pi \). Это значит, что для любого угла \( x \) выполнение \( \cos(x) = \cos(x + 2k\pi) \), где \( k \) — любое целое число. ### Шаги: 1. **Упростим угол:** Чтобы упростить \( \frac{46\pi}{3} \), нам нужно вычесть из него \( 2\pi \) до тех пор, пока угол не окажется в пределах интервала \( [0, 2\pi] \). Период \( 2\pi \) в виде долей \(\frac{2\pi}{1} = \frac{6\pi}{3}\). Теперь, давайте узнаем, сколько раз \( \frac{6\pi}{3} \) помещается в \( \frac{46\pi}{3} \): \[ \frac{46\pi / 3}{6\pi / 3} = \frac{46}{6} = \frac{23}{3} \approx 7.67 \] Это означает, что \( \frac{6\pi}{3} \) помещается 7 раз, а затем остается небольшая часть, которую нужно учитывать. Теперь вычислим, сколько углов осталось: \[ 46 - 7 \times 6 = 46 - 42 = 4 \] Таким образом, \[ \frac{46\pi}{3} - 7 \times 2\pi = \frac{46\pi}{3} - \frac{42\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \] 2. **Теперь вычислим косинус:** Мы можем теперь взять косинус от упрощенного угла: \[ \cos \left( \frac{46\pi}{3} \right) = \cos \left( \frac{4\pi}{3} \right) \] 3. **Определим значение косинуса:** Угол \( \frac{4\pi}{3} \) находится во втором квадранте, и его значение можно выразить как: \[ \frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3} \] В этом случае \[ \cos \left( \frac{4\pi}{3} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \] Поскольку \( \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \), тогда: \[ \cos \left( \frac{4\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} \] ### Ответ: Таким образом, \[ \cos \left( \frac{46\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} \]