Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, апофема которой равна 16 см и образует с плоскостью основания угол 30°.

Для нахождения объёма правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте решим задачу по шагам.

Шаг 1: Определение высоты пирамиды

У нас есть апофема пирамиды \(a = 16 \, \text{см}\) и угол между апофемой и плоскостью основания \(\alpha = 30^\circ\). Апофема образует с высотой сушения и плоскостью основания прямой треугольник.

В этом треугольнике:

• Апофема \(a\) — это гипотенуза,
• Высота \(h\) — это противолежащий катет,
• Косинус угла \(\alpha\) равен отношению высоты к апофеме.

Сначала найдем высоту \(h\): \[ h = a \cdot \sin(\alpha) = 16 \cdot \sin(30^\circ). \]

Зная, что \(\sin(30^\circ) = 0.5\): \[ h = 16 \cdot 0.5 = 8 \, \text{см}. \]

Шаг 2: Находим площадь основания

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды — это площадь квадрата. Чтобы найти длину стороны квадрата, воспользуемся соотношением: \[ \cos(\alpha) = \frac{b/2}{a}, \] где \(b\) — сторона основания. Из этого уравнения выразим \(b\): \[ b = 2 \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot 16 \cdot \cos(30^\circ). \]

Зная, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ b = 2 \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \, \text{см}. \]

Теперь найдём площадь основания \(S\): \[ S = b^2 = (16\sqrt{3})^2 = 256 \cdot 3 = 768 \, \text{см}^2. \]

Шаг 3: Рассчитываем объём пирамиды

Объём \(V\) правильной четырехугольной пирамиды определяется формулой: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h. \] Подставим найденные значения площади основания и высоты: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 768 \cdot 8. \] Выполним умножение: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 6144 = 2048 \, \text{см}^3. \]

Ответ

Объём правильной четырёхугольной пирамиды составляет \(2048 \, \text{см}^3\).