Для нахождения объёма правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте решим задачу по шагам.
Шаг 1: Определение высоты пирамиды
У нас есть апофема пирамиды (a = 16 , \text{см}) и угол между апофемой и плоскостью основания (\alpha = 30^\circ). Апофема образует с высотой сушения и плоскостью основания прямой треугольник.
В этом треугольнике:
- Апофема (a) — это гипотенуза,
- Высота (h) — это противолежащий катет,
- Косинус угла (\alpha) равен отношению высоты к апофеме.
Сначала найдем высоту (h):
[
h = a \cdot \sin(\alpha) = 16 \cdot \sin(30^\circ).
]
Зная, что (\sin(30^\circ) = 0.5):
[
h = 16 \cdot 0.5 = 8 , \text{см}.
]
Шаг 2: Находим площадь основания
Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды — это площадь квадрата. Чтобы найти длину стороны квадрата, воспользуемся соотношением:
[
\cos(\alpha) = \frac{b/2}{a},
]
где (b) — сторона основания. Из этого уравнения выразим (b):
[
b = 2 \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot 16 \cdot \cos(30^\circ).
]
Зная, что (\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}):
[
b = 2 \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} , \text{см}.
]
Теперь найдём площадь основания (S):
[
S = b^2 = (16\sqrt{3})^2 = 256 \cdot 3 = 768 , \text{см}^2.
]
Шаг 3: Рассчитываем объём пирамиды
Объём (V) правильной четырехугольной пирамиды определяется формулой:
[
V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h.
]
Подставим найденные значения площади основания и высоты:
[
V = \frac{1}{3} \cdot 768 \cdot 8.
]
Выполним умножение:
[
V = \frac{1}{3} \cdot 6144 = 2048 , \text{см}^3.
]
Ответ
Объём правильной четырёхугольной пирамиды составляет (2048 , \text{см}^3).
