Во сколько раз уменьшится пло шадь поверхности правильной че тырёхугольной пирамиды, осли пое ее ребра уменьшить в 1.4 раза?

Для решения задачи о том, во сколько раз уменьшится площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды при уменьшении её рёбер в 1.4 раза, давайте шаг за шагом разберёмся с основными понятиями и формулами. ### Шаг 1: Понимание правильной четырехугольной пирамиды Правильная четырехугольная пирамида — это пирамида, у которой основание является квадратом, а все боковые грани — треугольники, которые равны между собой. Площадь поверхности пирамиды составляется из площади основания и площади боковых граней. ### Шаг 2: Формула площади поверхности пирамиды 1. **Площадь основания** (квадрат): Если сторона квадрата равна \( a \), то площадь основания \( S_{осн} = a^2 \). 2. **Площадь боковых граней**: У правильной четырехугольной пирамиды 4 боковые грани. Площадь одной треугольной грани можно рассчитать по формуле: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \] В данном случае основание треугольника равно \( a \), а высота зависит от высоты пирамиды и угла наклона. Однако, если мы будем считать, что r — это высота от вершины пирамиды до середины основание, тогда площадь боковой грани будет \( \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \). Таким образом, площадь боковых граней будет составлять: \[ S_{бок} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 2ah \] ### Шаг 3: Полная площадь поверхности Итак, полная площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды будет: \[ S_{пов} = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + 2ah \] ### Шаг 4: Уменьшение размеров Теперь, если мы уменьшаем все рёбра пирамиды в 1.4 раза, новая сторона основания будет \( \frac{a}{1.4} \), а также уменьшится высота \( h \) (если предположить, что высота тоже пропорциональна стороне). 1. **Новая площадь основания**: \[ S_{осн_{н}} = \left(\frac{a}{1.4}\right)^2 = \frac{a^2}{1.4^2} \] 2. **Новая высота**: Высота также уменьшается в 1.4 раза, поэтому: \[ h_{н} = \frac{h}{1.4} \] 3. **Новая площадь боковых граней**: \[ S_{бок_{н}} = 2 \cdot \left(\frac{a}{1.4}\right) \cdot \left(\frac{h}{1.4}\right) = \frac{2ah}{1.4^2} \] ### Шаг 5: Полная новая площадь поверхности Теперь можем найти новую полную площадь: \[ S_{пов_{н}} = S_{осн_{н}} + S_{бок_{н}} = \frac{a^2}{1.4^2} + \frac{2ah}{1.4^2} = \frac{a^2 + 2ah}{1.4^2} = \frac{S_{пов}}{1.4^2} \] ### Шаг 6: Вычисление, во сколько раз уменьшится площадь поверхности Итак, площадь поверхности уменьшится в: \[ \text{Уменьшение} = 1.4^2 \approx 1.96 \] ### Ответ Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды уменьшится примерно в 1.96 раз при уменьшении её рёбер в 1.4 раза.