Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2 : 7, считая от вершины тупого угла. Найдите меньшую сторону параллелограмма, если его периметр…

Для решения задачи нам нужно использовать свойства параллелограмм и биссектрисы.

1. Дано:

   • Периметр параллелограмма \(P = 64 \text{ см}\).
   • Биссектрисе тупого угла соответствует деление противоположной стороны в отношении \(2:7\).

   Обозначим стороны параллелограмма как \(a\) и \(b\) (где \(a\) — более длинная сторона, а \(b\) — меньшая).

2. Периметр: Периметр параллелограмма вычисляется по формуле: \[ P = 2(a + b) \] Подставим известное значение периметра: \[ 64 = 2(a + b) \] Разделим обе стороны на 2: \[ a + b = 32 \] Это первое уравнение, которое мы будем использовать.

3. Свойства биссектрисы: В соответствии с условием, биссектрисе соответствуют отрезки в отношении \(2:7\). Обозначим точку деления противоположной стороны как \(M\), тогда: \[ AM:MB = 2:7 \] Пускай длина отрезка \(AM = 2k\) и \(MB = 7k\). Тогда длина всей стороны \(AB\) будет равна: \[ AB = AM + MB = 2k + 7k = 9k \]

4. Стороны параллелограмма: Мы знаем, что стороны \(AB\) и \(CD\) равны, а также стороны \(AD\) и \(BC\). Обозначим: \[ a = AB = 9k \quad \text{и} \quad b = BC = x \] Поскольку в параллелограмме противолежащие стороны равны:

   Таким образом, мы можем записать следующее: \[ a + b = 32 \implies 9k + x = 32 \quad \text{(второе уравнение)} \]

5. Найдем выражение для \(x\): Из второго уравнения выражаем \(x\): \[ x = 32 - 9k \]

6. С учетом биссектрисы и условия, что \(a > b\): Так как \(AB\) – это более длинная сторона, то \(a = 9k\) больше, чем \(b = x = 32 - 9k\). Таким образом: \[ 9k > 32 - 9k \] Упростим это неравенство: \[ 18k > 32 \implies k > \frac{32}{18} \implies k > \frac{16}{9} \approx 1.78 \]

7. Вместе с тем, \(x\) должно быть положительным: \(32 - 9k > 0 \implies k < \frac{32}{9} \approx 3.56\)

8. Подбор значений для \(k\): Теперь мы знаем, что: \[ \frac{16}{9} < k < \frac{32}{9} \] Попробуем взять \(k = 2\) (это значение так же подходит согласно неравенству): \[ a = 9k = 9 \times 2 = 18 \quad \text{и} \quad b = 32 - 9k = 32 - 18 = 14 \]

9. Ответ: Меньшая сторона параллелограмма \(b = 14 \text{ см}\). Таким образом, меньшая сторона параллелограмма равна 14 см.