Для правильного n-угольника вычислите r, Rn, Sn, CR, SR, если известно: 1. n=4, R=2

Для правильного n-угольника (в данном случае, квадрата, так как n=4) давайте вычислим нужные параметры. Мы знаем, что:

• \( R \) — радиус описанной окружности,
• \( r \) — радиус вписанной окружности,
• \( S_n \) — площадь правильного n-угольника,
• \( C_R \) — длина окружности, описанной около правильного n-угольника,
• \( S_R \) — площадь круга, описанного вокруг правильного n-угольника.

Дано:

• \( n = 4 \),
• \( R = 2 \).

Шаг 1: Вычисление радиуса вписанной окружности \( r \)

Для правильного n-угольника радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле:

\[ r = R \cdot \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \]

Подставим значения:

\[ r = 2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]

Шаг 2: Вычисление площади \( S_n \)

Площадь правильного n-угольника можно вычислить по формуле:

\[ S_n = \frac{1}{2} \cdot n \cdot R^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \]

Подставим значения:

\[ S_n = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 8 \cdot 1 = 8 \]

Шаг 3: Вычисление длины окружности \( C_R \)

Длину окружности \( C_R \) вычисляем по формуле:

\[ C_R = 2\pi R \]

Подставим значение:

\[ C_R = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \]

Шаг 4: Вычисление площади круга \( S_R \)

Площадь круга, описанного вокруг правильного n-угольника, вычисляется по формуле:

\[ S_R = \pi R^2 \]

Подставим значение:

\[ S_R = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \]

Итоговые результаты

Теперь мы можем суммировать наши результаты:

• \( r = \sqrt{2} \)
• \( R_n = R = 2 \)
• \( S_n = 8 \)
• \( C_R = 4\pi \)
• \( S_R = 4\pi \)

Таким образом, для данного правильного четырехугольника (квадрата) мы вычислили все нужные параметры.