Чтобы найти скалярное произведение векторов (\mathbf{m} - 2\mathbf{n}) и (\mathbf{m}), начнем с общего определения скалярного произведения двух векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}):
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta),
]
где (\theta) — угол между векторами (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}).
Шаг 1: Найдем необходимое выражение
Нам нужно вычислить следующее скалярное произведение:
[
(\mathbf{m} - 2\mathbf{n}) \cdot \mathbf{m} = \mathbf{m} \cdot \mathbf{m} - 2(\mathbf{n} \cdot \mathbf{m}).
]
Шаг 2: Найдем (\mathbf{m} \cdot \mathbf{m})
Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его длины:
[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{m} = |\mathbf{m}|^2 = 3^2 = 9.
]
Шаг 3: Найдем (\mathbf{n} \cdot \mathbf{m})
Используем формулу для скалярного произведения:
[
\mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = |\mathbf{n}| |\mathbf{m}| \cos(\theta),
]
где (|\mathbf{n}| = 5), (|\mathbf{m}| = 3), а (\theta = 60^\circ).
Значение (\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}), следовательно:
[
\mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 7.5.
]
Шаг 4: Подставляем все значения в выражение
Теперь подставим найденные значения в выражение для скалярного произведения:
[
(\mathbf{m} - 2\mathbf{n}) \cdot \mathbf{m} = 9 - 2 \cdot 7.5 = 9 - 15 = -6.
]
Ответ
Скалярное произведение ((\mathbf{m} - 2\mathbf{n}) \cdot \mathbf{m}) равно (-6).
