Найди скалярное произведение 𝑚 → − 2 𝑛 → m −2 n и 𝑚 → m , если ∣ 𝑚 → ∣ = 3 ∣ m ∣=3 , ∣ 𝑛 → ∣ = 5 ∣ n ∣=5 , 𝑚 → 𝑛 → ^ = 60 ° m n =60° .

Чтобы найти скалярное произведение векторов \(\mathbf{m} - 2\mathbf{n}\) и \(\mathbf{m}\), начнем с общего определения скалярного произведения двух векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta), \]

где \(\theta\) — угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).

Шаг 1: Найдем необходимое выражение

Нам нужно вычислить следующее скалярное произведение:

\[ (\mathbf{m} - 2\mathbf{n}) \cdot \mathbf{m} = \mathbf{m} \cdot \mathbf{m} - 2(\mathbf{n} \cdot \mathbf{m}). \]

Шаг 2: Найдем \(\mathbf{m} \cdot \mathbf{m}\)

Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его длины:

\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{m} = |\mathbf{m}|^2 = 3^2 = 9. \]

Шаг 3: Найдем \(\mathbf{n} \cdot \mathbf{m}\)

Используем формулу для скалярного произведения:

\[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = |\mathbf{n}| |\mathbf{m}| \cos(\theta), \]

где \(|\mathbf{n}| = 5\), \(|\mathbf{m}| = 3\), а \(\theta = 60^\circ\).

Значение \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), следовательно:

\[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 7.5. \]

Шаг 4: Подставляем все значения в выражение

Теперь подставим найденные значения в выражение для скалярного произведения:

\[ (\mathbf{m} - 2\mathbf{n}) \cdot \mathbf{m} = 9 - 2 \cdot 7.5 = 9 - 15 = -6. \]

Ответ

Скалярное произведение \((\mathbf{m} - 2\mathbf{n}) \cdot \mathbf{m}\) равно \(-6\).