\ [[1/x + 1/y = 1/6], [2x - y = 5]]

У нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ 2x - y = 5 \end{cases} \]

Давайте решим эту систему шаг за шагом.

1. Из второго уравнения выразим \(y\) через \(x\):

\[ y = 2x - 5 \]

2. Подставим \(y\) в первое уравнение:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{2x - 5} = \frac{1}{6} \]

3. Умножим на \(6x(2x - 5)\), чтобы избавиться от дробей:

\[ 6(2x - 5) + 6x = x(2x - 5) \]

4. Раскроем скобки:

\[ 12x - 30 + 6x = 2x^2 - 5x \]

5. Переносим все в одну сторону уравнения:

\[ 2x^2 - 5x - 18x + 30 = 0 \] \[ 2x^2 - 23x + 30 = 0 \]

6. Используем формулу корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 2\), \(b = -23\), \(c = 30\).

7. Считаем дискриминант:

\[ D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30 = 529 - 240 = 289 \]

8. Теперь находим корни:

\[ x = \frac{23 \pm \sqrt{289}}{4} = \frac{23 \pm 17}{4} \]

Это дает два решения:

\[ x_1 = \frac{40}{4} = 10, \quad x_2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]

Теперь найдем соответствующие значения \(y\):

Для \(x_1 = 10\): \[ y_1 = 2 \cdot 10 - 5 = 15 \]

Для \(x_2 = \frac{3}{2}\): \[ y_2 = 2 \cdot \frac{3}{2} - 5 = 3 - 5 = -2 \]

Таким образом, решения системы уравнений:

\[ (x_1, y_1) = (10, 15), \quad (x_2, y_2) = \left(\frac{3}{2}, -2\right) \]