Во время одной из интеллектуальных игр Незнайка и Пончик придумывали функции, а потом их исследовали. В частности, Пончик попросил Незнайку подсчитать, сколько целых значений может принимать функция f(x) = 2cos2x + 2cosx - 2025. В результате у Незнайки получилось целое(-ых) значение(-ий, -ия).

Чтобы решить задачу, нам нужно определить целые значения функции \( f(x) = 2\cos(2x) + 2\cos(x) - 2025 \). Для этого начнем с анализа функции и нахождения диапазона значений \( f(x) \). 1. **Исследуем часть функции:** Сначала вспомним, что значения \( \cos(x) \) находятся в пределах от -1 до 1. Поэтому: - \( \cos(2x) \) также находится в пределах от -1 до 1. - Следовательно, \( 2\cos(2x) \) изменяется от \( 2 \cdot (-1) = -2 \) до \( 2 \cdot 1 = 2 \). - Таким образом, \( 2\cos(2x) \) имеет диапазон: \[ -2 \leq 2\cos(2x) \leq 2. \] 2. **Анализируем \( 2\cos(x) \):** Аналогично: - \( 2\cos(x) \) также изменяется от -2 до 2: \[ -2 \leq 2\cos(x) \leq 2. \] 3. **Суммируем оба значения:** Теперь рассмотрим сумму \( 2\cos(2x) + 2\cos(x) \): - Минимальное значение будет достигаться, когда оба косинуса равны -1: \[ -2 + -2 = -4. \] - Максимальное значение будет достигаться, когда оба косинуса равны 1: \[ 2 + 2 = 4. \] Таким образом, диапазон значений \( 2\cos(2x) + 2\cos(x) \) составляет: \[ -4 \leq 2\cos(2x) + 2\cos(x) \leq 4. \] 4. **Теперь находим диапазон функции \( f(x) \):** Подставляем полученные значения в функцию: \[ f(x) = 2\cos(2x) + 2\cos(x) - 2025. \] Подставляя минимальные и максимальные значения: - Минимальное значение \( f(x) \): \[ f_{\text{min}} = -4 - 2025 = -2029. \] - Максимальное значение \( f(x) \): \[ f_{\text{max}} = 4 - 2025 = -2021. \] 5. **Определяем целые значения:** Теперь нам нужно найти целые значения, которые может принимать \( f(x) \): - \( f(x) \) может принимать значения от \( -2029 \) до \( -2021 \), включительно. - Таким образом, диапазон целых значений: \[ -2029, -2028, -2027, -2026, -2025, -2024, -2023, -2022, -2021. \] 6. **Считаем количество целых значений:** Чтобы посчитать количество целых значений, можем просто найти разность между максимальным и минимальным значением и добавить 1: \[ (-2021) - (-2029) + 1 = 8 + 1 = 9. \] Таким образом, функция \( f(x) \) может принимать 9 целых значений. **Ответ:** 9 целых значения.