Во время одной из интеллектуальных игр Незнайка и Пончик придумывали функции, а потом их исследовали. В частности, Пончик попросил Незнайку подсчитать, сколько целых значений…

Чтобы решить задачу, нам нужно определить целые значения функции \( f(x) = 2\cos(2x) + 2\cos(x) - 2025 \). Для этого начнем с анализа функции и нахождения диапазона значений \( f(x) \).

1. Исследуем часть функции: Сначала вспомним, что значения \( \cos(x) \) находятся в пределах от -1 до 1. Поэтому:

   • \( \cos(2x) \) также находится в пределах от -1 до 1.
   • Следовательно, \( 2\cos(2x) \) изменяется от \( 2 \cdot (-1) = -2 \) до \( 2 \cdot 1 = 2 \).
   • Таким образом, \( 2\cos(2x) \) имеет диапазон: \[ -2 \leq 2\cos(2x) \leq 2. \]

2. Анализируем \( 2\cos(x) \): Аналогично:

   • \( 2\cos(x) \) также изменяется от -2 до 2: \[ -2 \leq 2\cos(x) \leq 2. \]

3. Суммируем оба значения: Теперь рассмотрим сумму \( 2\cos(2x) + 2\cos(x) \):

   • Минимальное значение будет достигаться, когда оба косинуса равны -1: \[ -2 + -2 = -4. \]
   • Максимальное значение будет достигаться, когда оба косинуса равны 1: \[ 2 + 2 = 4. \]

   Таким образом, диапазон значений \( 2\cos(2x) + 2\cos(x) \) составляет: \[ -4 \leq 2\cos(2x) + 2\cos(x) \leq 4. \]

4. Теперь находим диапазон функции \( f(x) \): Подставляем полученные значения в функцию: \[ f(x) = 2\cos(2x) + 2\cos(x) - 2025. \] Подставляя минимальные и максимальные значения:

   • Минимальное значение \( f(x) \): \[ f_{\text{min}} = -4 - 2025 = -2029. \]
   • Максимальное значение \( f(x) \): \[ f_{\text{max}} = 4 - 2025 = -2021. \]

5. Определяем целые значения: Теперь нам нужно найти целые значения, которые может принимать \( f(x) \):

   • \( f(x) \) может принимать значения от \( -2029 \) до \( -2021 \), включительно.
   • Таким образом, диапазон целых значений: \[ -2029, -2028, -2027, -2026, -2025, -2024, -2023, -2022, -2021. \]

6. Считаем количество целых значений: Чтобы посчитать количество целых значений, можем просто найти разность между максимальным и минимальным значением и добавить 1: \[ (-2021) - (-2029) + 1 = 8 + 1 = 9. \]

Таким образом, функция \( f(x) \) может принимать 9 целых значений.

Ответ: 9 целых значения.