В треугольнике ABC угол C равен 90°, стороны AC и BC равны. На стороне AB отметили точку P так, что угол ACP равен 25°. Найдите градусную меру угла APC.

Для решения задачи используем свойства прямоугольного треугольника и некоторые основные теоремы геометрии.

1. Определим известные элементы треугольника ABC:

   • У нас есть треугольник ABC, где угол C равен 90°.
   • Стороны AC и BC равны, это значит, что ABC — равнобедренный треугольник.

2. Запишем обозначения углов:

   • Угол A обозначим как \( \angle A \).
   • Угол B обозначим как \( \angle B \).
   • Мы знаем, что \( \angle A + \angle B + \angle C = 180° \).
   • Так как \( \angle C = 90° \), получаем: \( \angle A + \angle B = 90° \).

3. Используем информацию о точке P:

   • У нас есть угол \( ACP \), который равен 25°.
   • Обозначим угол \( APC \) как \( x \).

4. Определяем угол APB:

   • Угол \( APB \) будет равен 90° (так как это внешний угол к углу ACP) по теореме: \( \angle APB = \angle A + \angle ACP \).
   • Мы знаем, что \( ACP = 25° \), следовательно, \( \angle APB = \angle A + 25° \).

5. Составляем уравнение:

   • Мы знаем, что \( \angle A + \angle B = 90° \). Учитывая, что \( \angle B = 90° - \angle A \), подставим это в уравнение:
   • \( \angle A + 25° + \angle B = 90° \)
   • Тогда \( \angle A + 25° + (90° - \angle A) = 90° \)
   • Упрощаем это: \( 25° + 90° = 90° \)
   • Это указывает на то, что \( \angle B \) не изменяет выражение и все согласуется с тем, что P — это точка на стороне AB.

6. Находим угол APC:

   • Угол APB и угол ACP составляют полный угол C, то есть:
   • \( \angle APC + \angle ACP = 90° \).
   • Подставим значение: \( x + 25° = 90° \).
   • Теперь решим уравнение: \( x = 90° - 25° = 65° \).

Итак, градусная мера угла APC равна 65°.