В треугольнике ABC угол C равен 90°, стороны AC и BC равны. На стороне AB отметили точку P так, что угол ACP равен 25°. Найдите градусную меру угла APC.

Для решения задачи используем свойства прямоугольного треугольника и некоторые основные теоремы геометрии. 1. **Определим известные элементы треугольника ABC**: - У нас есть треугольник ABC, где угол C равен 90°. - Стороны AC и BC равны, это значит, что ABC — равнобедренный треугольник. 2. **Запишем обозначения углов**: - Угол A обозначим как \( \angle A \). - Угол B обозначим как \( \angle B \). - Мы знаем, что \( \angle A + \angle B + \angle C = 180° \). - Так как \( \angle C = 90° \), получаем: \( \angle A + \angle B = 90° \). 3. **Используем информацию о точке P**: - У нас есть угол \( ACP \), который равен 25°. - Обозначим угол \( APC \) как \( x \). 4. **Определяем угол APB**: - Угол \( APB \) будет равен 90° (так как это внешний угол к углу ACP) по теореме: \( \angle APB = \angle A + \angle ACP \). - Мы знаем, что \( ACP = 25° \), следовательно, \( \angle APB = \angle A + 25° \). 5. **Составляем уравнение**: - Мы знаем, что \( \angle A + \angle B = 90° \). Учитывая, что \( \angle B = 90° - \angle A \), подставим это в уравнение: - \( \angle A + 25° + \angle B = 90° \) - Тогда \( \angle A + 25° + (90° - \angle A) = 90° \) - Упрощаем это: \( 25° + 90° = 90° \) - Это указывает на то, что \( \angle B \) не изменяет выражение и все согласуется с тем, что P — это точка на стороне AB. 6. **Находим угол APC**: - Угол APB и угол ACP составляют полный угол C, то есть: - \( \angle APC + \angle ACP = 90° \). - Подставим значение: \( x + 25° = 90° \). - Теперь решим уравнение: \( x = 90° - 25° = 65° \). Итак, градусная мера угла APC равна **65°**.