Для того чтобы найти уравнение медианы, проведенной из вершины K треугольника, сначала нам нужно определить координаты средней точки отрезка MN. Затем мы найдем угол наклона (который обозначается как k) и уравнение прямой.
Шаг 1: Найти среднюю точку отрезка MN
Координаты вершин:
Средняя точка (обозначим ее O) находится по формуле:
[
O_x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad O_y = \frac{y_1 + y_2}{2}
]
Где ( (x_1, y_1) ) — это координаты точки M, а ( (x_2, y_2) ) — координаты точки N.
Подставим значения:
[
O_x = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1
]
[
O_y = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4
]
Таким образом, координаты точки O (середины отрезка MN) равны O(1; 4).
Шаг 2: Найти угол наклона медианы
Координаты вершины K:
Теперь найдем угол наклона медианы, который соединяет точки K(6; 3) и O(1; 4). Угол наклона можно определить по формуле:
[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
]
Здесь ( (x_1, y_1) = (6, 3) ) и ( (x_2, y_2) = (1, 4) ):
[
k = \frac{4 - 3}{1 - 6} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}
]
Шаг 3: Найти уравнение прямой
Исходя из угла наклона, уравнение прямой, проходящей через конечные точки K(6; 3) и O(1; 4), можно записать в общем виде:
[
y - y_1 = k(x - x_1)
]
Подставляем координаты K и угол наклона:
[
y - 3 = -\frac{1}{5}(x - 6)
]
Упрощаем это уравнение:
[
y - 3 = -\frac{1}{5}x + \frac{6}{5}
]
[
y = -\frac{1}{5}x + \frac{6}{5} + 3
]
Чтобы сложить 3 и ( \frac{6}{5} ), нужно преобразовать 3 в дробь:
[
3 = \frac{15}{5}, \quad \therefore y = -\frac{1}{5}x + \frac{6}{5} + \frac{15}{5} = -\frac{1}{5}x + \frac{21}{5}
]
Шаг 4: Записываем финальный ответ в нужном формате
Уравнение медианы, проведенной из вершины K, можно записать в виде:
[
y = -\frac{1}{5}x + \frac{21}{5}
]
Это конечный ответ: ( y = -\frac{1}{5}x + \frac{21}{5} ).
