Сколькими способами можно разбить 9 человек на две группы численностью 4 и 5 человек?

Чтобы решить задачу о количестве способов разбить 9 человек на две группы численностью 4 и 5 человек, давайте рассмотрим шаги:

1. Выбор группы:
   Нам нужно выбрать 4 человека из 9 для первой группы. Количество способов выбрать 4 человека из 9 можно вычислить с помощью биномиального коэффициента, который записывается как \( C(n, k) \), где \( n \) — общее количество элементов, а \( k \) — количество выбираемых элементов. Формула биномиального коэффициента выглядит так: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

   В нашем случае: \[ C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} \]

2. Вычисление:
   Теперь давайте вычислим \( C(9, 4) \):

   • \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5! \) (обратите внимание, что \( 5! \) сократится)
   • Т.е. у нас остается: \[ C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4!} \]
   • \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)

   Подставляем: \[ C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24} \]

   • Сначала вычислим числитель: \[ 9 \times 8 = 72 \] \[ 72 \times 7 = 504 \] \[ 504 \times 6 = 3024 \]
   • Теперь: \[ C(9, 4) = \frac{3024}{24} = 126 \]

3. Учет порядка групп:
   Так как выбор группы из 4 человек автоматически определяет группу из 5 человек, мы не можем просто умножить на 2 (различие групп имеет значение). Тем не менее, важно заметить, что в данной задаче мы рассматриваем две разные группы. Поэтому, если бы порядок имел значение, то нам пришлось бы умножить на 2, но в этом случае мы считаем группы как разные.

4. Итог:
   Количество способов разбить 9 человек на две группы численностью 4 и 5 человек равно 126.

Таким образом, ответ на задачу — 126 способов.