Основанном прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь со поверхности равна 144. Найдите высоту призмы.
Чтобы найти высоту призмы, давайте разберем задачу по шагам.
Шаг 1: Найдем площадь основания
Основание нашей прямой треугольной призмы — это прямоугольный треугольник, у которого катеты равны 6 и 8. Площадь \( S \) прямоугольного треугольника определяется по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
где \( a \) и \( b \) — это длины катетов.
Подставим значения:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24 \]
Шаг 2: Найдем полную площадь поверхностей призмы
Полная площадь поверхности прямой треугольной призмы состоит из двух основных частей:
- Площадь двух оснований (двух прямоугольных треугольников).
- Площадь трех боковых граней.
Площадь двух оснований:
\[ S_{оснований} = 2 \cdot S = 2 \cdot 24 = 48 \]
Шаг 3: Найдем площадь боковых граней
Площадь боковых граней составляют прямоугольники, которые могут быть вычислены как произведение сторон основания на высоту призмы. У нас есть три боковых грани:
- Две грани с размерами 6 (один из катетов) и высота призмы \( h \).
- Две грани с размерами 8 (другой катет) и высота призмы \( h \).
- Грань для гипотенузы, которую мы найдем, а затем также будем учитывать.
Для нахождения гипотенузы \( c \) используем теорему Пифагора:
\[ c = \sqrt{(6^2 + 8^2)} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]
Теперь, значит, у нас есть:
- Площадь первого прямоугольника: \( 6 \cdot h \)
- Площадь второго прямоугольника: \( 8 \cdot h \)
- Площадь третьего прямоугольника (по гипотенузе): \( 10 \cdot h \)
Шаг 4: Составим уравнение для полной площади
Полная площадь призмы равняется сумме площадей двух оснований и трех боковых граней:
\[ S_{полная} = S_{оснований} + S_{боковых} \]
где \( S_{боковых} = 6h + 8h + 10h = 24h \).
Подставляя известные значения, мы получаем:
\[ 144 = 48 + 24h \]
Шаг 5: Решим уравнение для нахождения высоты \( h \)
Упростим уравнение:
\[ 144 - 48 = 24h \]
\[ 96 = 24h \]
Теперь найдем \( h \):
\[ h = \frac{96}{24} = 4 \]
Ответ
Высота призмы равна 4.
