Чтобы найти высоту призмы, давайте разберем задачу по шагам.
Шаг 1: Найдем площадь основания
Основание нашей прямой треугольной призмы — это прямоугольный треугольник, у которого катеты равны 6 и 8. Площадь ( S ) прямоугольного треугольника определяется по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
где ( a ) и ( b ) — это длины катетов.
Подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24
]
Шаг 2: Найдем полную площадь поверхностей призмы
Полная площадь поверхности прямой треугольной призмы состоит из двух основных частей:
- Площадь двух оснований (двух прямоугольных треугольников).
- Площадь трех боковых граней.
Площадь двух оснований:
[
S_{оснований} = 2 \cdot S = 2 \cdot 24 = 48
]
Шаг 3: Найдем площадь боковых граней
Площадь боковых граней составляют прямоугольники, которые могут быть вычислены как произведение сторон основания на высоту призмы. У нас есть три боковых грани:
- Две грани с размерами 6 (один из катетов) и высота призмы ( h ).
- Две грани с размерами 8 (другой катет) и высота призмы ( h ).
- Грань для гипотенузы, которую мы найдем, а затем также будем учитывать.
Для нахождения гипотенузы ( c ) используем теорему Пифагора:
[
c = \sqrt{(6^2 + 8^2)} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
]
Теперь, значит, у нас есть:
- Площадь первого прямоугольника: ( 6 \cdot h )
- Площадь второго прямоугольника: ( 8 \cdot h )
- Площадь третьего прямоугольника (по гипотенузе): ( 10 \cdot h )
Шаг 4: Составим уравнение для полной площади
Полная площадь призмы равняется сумме площадей двух оснований и трех боковых граней:
[
S_{полная} = S_{оснований} + S_{боковых}
]
где ( S_{боковых} = 6h + 8h + 10h = 24h ).
Подставляя известные значения, мы получаем:
[
144 = 48 + 24h
]
Шаг 5: Решим уравнение для нахождения высоты ( h )
Упростим уравнение:
[
144 - 48 = 24h
]
[
96 = 24h
]
Теперь найдем ( h ):
[
h = \frac{96}{24} = 4
]
Ответ
Высота призмы равна 4.
