Решить неравенство Корень x+2> корень 4-x

Решим неравенство \(\sqrt{x+2} > \sqrt{4-x}\).

Шаг 1: Определим область допустимых значений

Сначала нужно рассмотреть, при каких значениях \(x\) обе стороны неравенства будут определены.

1. Для \(\sqrt{x+2}\) необходимо, чтобы \(x+2 \geq 0\): \[ x \geq -2 \]

2. Для \(\sqrt{4-x}\) необходимо, чтобы \(4-x \geq 0\): \[ x \leq 4 \]

Объединяя эти два условия, мы получаем область допустимых значений: \[ -2 \leq x \leq 4 \]

Шаг 2: Избавимся от квадратных корней

Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе стороны неравенства в квадрат. Тем не менее, помните, что при возведении в квадрат, неравенство может измениться, если обе стороны положительные. Но так как обе стороны неравенства определены в пределах \(x\) от -2 до 4, мы знаем, что обе стороны положительны при \(x\) в пределах этой области.

Возводим в квадрат: \[ (\sqrt{x+2})^2 > (\sqrt{4-x})^2 \] Это дает: \[ x + 2 > 4 - x \]

Шаг 3: Упрощаем неравенство

Теперь решим полученное неравенство: \[ x + 2 > 4 - x \] Складываем \(x\) с обеих сторон: \[ 2x + 2 > 4 \] Теперь вычтем 2: \[ 2x > 2 \] И разделим обе стороны на 2: \[ x > 1 \]

Шаг 4: Объединяем результаты

Теперь у нас есть два условия:

1. \(x > 1\)
2. \(-2 \leq x \leq 4\)

Объединив их, мы получаем: \[ 1 < x \leq 4 \]

Ответ

Таким образом, решение неравенства \(\sqrt{x+2} > \sqrt{4-x}\): \[ (1, 4] \] Это значит, что \(x\) может принимать любые значения больше 1 и до 4 включительно.