Решить неравенство Корень 14-5x=x

Давайте решим неравенство \( \sqrt{14 - 5x} = x \). ### Шаг 1: Избавимся от квадратного корня Для начала возведем обе стороны уравнения в квадрат: \[ (\sqrt{14 - 5x})^2 = x^2 \] Это даст нам: \[ 14 - 5x = x^2 \] ### Шаг 2: Приведем уравнение к стандартному виду Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения: \[ x^2 + 5x - 14 = 0 \] ### Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения Мы можем решить это уравнение с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = 5 \), \( c = -14 \): \[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \] Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] В нашем случае: \[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 9}{2} \] Теперь найдем два корня: 1. \( x_1 = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) 2. \( x_2 = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \) Таким образом, корни уравнения: \[ x_1 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = -7 \] ### Шаг 4: Проверим, какие корни удовлетворяют исходному уравнению Необходимо проверить, удовлетворяют ли корни уравнению: 1. **Для \( x = 2 \)**: \[ \sqrt{14 - 5 \cdot 2} = \sqrt{14 - 10} = \sqrt{4} = 2 \quad \text{(истина)} \] 2. **Для \( x = -7 \)**: \[ \sqrt{14 - 5 \cdot (-7)} = \sqrt{14 + 35} = \sqrt{49} = 7 \quad \text{(не истина)} \] Таким образом, только \( x = 2 \) является решением нашего уравнения. ### Шаг 5: Условия определенности Так как мы работали с квадратным корнем, нам нужно учитывать ограничения: \[ 14 - 5x \geq 0 \implies 14 \geq 5x \implies x \leq \frac{14}{5} = 2.8 \] ### Заключение Корень \( x = -7 \) не подходит, поэтому наше окончательное решение неравенства: \[ x \leq 2 \] Таким образом, единственным корнем данного уравнения будет \( x = 2 \), который удовлетворяет всем условиям.