Решить неравенство Корень 14-5x=x
Давайте решим неравенство \( \sqrt{14 - 5x} = x \).
Шаг 1: Избавимся от квадратного корня
Для начала возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\[ (\sqrt{14 - 5x})^2 = x^2 \]
Это даст нам:
\[ 14 - 5x = x^2 \]
Шаг 2: Приведем уравнение к стандартному виду
Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
\[ x^2 + 5x - 14 = 0 \]
Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения
Мы можем решить это уравнение с помощью дискриминанта.
Формула для дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 1 \), \( b = 5 \), \( c = -14 \):
\[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
В нашем случае:
\[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 9}{2} \]
Теперь найдем два корня:
- \( x_1 = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
- \( x_2 = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \)
Таким образом, корни уравнения:
\[ x_1 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = -7 \]
Шаг 4: Проверим, какие корни удовлетворяют исходному уравнению
Необходимо проверить, удовлетворяют ли корни уравнению:
- Для \( x = 2 \):
\[ \sqrt{14 - 5 \cdot 2} = \sqrt{14 - 10} = \sqrt{4} = 2 \quad \text{(истина)} \]
- Для \( x = -7 \):
\[ \sqrt{14 - 5 \cdot (-7)} = \sqrt{14 + 35} = \sqrt{49} = 7 \quad \text{(не истина)} \]
Таким образом, только \( x = 2 \) является решением нашего уравнения.
Шаг 5: Условия определенности
Так как мы работали с квадратным корнем, нам нужно учитывать ограничения:
\[ 14 - 5x \geq 0 \implies 14 \geq 5x \implies x \leq \frac{14}{5} = 2.8 \]
Заключение
Корень \( x = -7 \) не подходит, поэтому наше окончательное решение неравенства:
\[ x \leq 2 \]
Таким образом, единственным корнем данного уравнения будет \( x = 2 \), который удовлетворяет всем условиям.
