Выберите верные утверждения. Номера верных утверждений запишите в порядке возрастания, без запятых и других зилков: 1. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°…

Давайте разобьем задачи на отдельные части и подробно решим каждую из них.

1. Выберите верные утверждения

1. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.
   Это утверждение верно. В прямоугольном треугольнике с углом 30° всегда выполняется это соотношение.

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме катетов.
   Это утверждение неверно. Гипотенуза равна по теореме Пифагора, а не сумме катетов.

3. Треугольник со сторонами 2, 5 и 27 - прямоугольный.
   Это утверждение неверно. Чтобы треугольник был прямоугольным, должна выполняться теорема о сумме квадратов, подразумевающая, что квадрат самой длинной стороны должен равняться сумме квадратов двух других сторон. В данном случае \(27^2 \neq 2^2 + 5^2\).

4. Если внешний угол прямоугольного треугольника 120 градусов, то один из его острых углов 30 градусов.
   Это утверждение неверно. Внешний угол прямоугольного треугольника всегда равен 90° + острый угол, следовательно, один из острых углов не может быть 30°.

Верные утверждения: 1

---

2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза АС=5, катет АВ=4, катет ВС=3. Вычислите синус, косинус и тангенс угла С.

Для треугольника \( ABC \), где \(C\) — прямой угол:

• Гипотенуза \(AC = 5\)
• Катет \(AB = 4\)
• Катет \(BC = 3\)

Синус, косинус и тангенс угла \(C\) можно найти по следующим формулам:

• Синус угла \(C\) (противолежащий катет на гипотенузу): \[ \sin C = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{5} = 0.6 \]

• Косинус угла \(C\) (прилежащий катет на гипотенузу): \[ \cos C = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5} = 0.8 \]

• Тангенс угла \(C\) (противолежащий катет на прилежащий): \[ \tan C = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{4} = 0.75 \]

Ответ:

• Синус \(C = 0.6\)
• Косинус \(C = 0.8\)
• Тангенс \(C = 0.75\)

---

3. Верные утверждения:

1. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу этого угла.
   Это утверждение стало верным только для complementary angles (взаимодополняющих) в прямоугольном треугольнике, но в общем случае это неверно. Поэтому не является верным.

2. Если синус угла равен 0,8, то косинус этого угла равен 0,6.
   Это утверждение неверно. Правило взаимосвязи синуса и косинуса: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\). Если \(\sin \theta = 0.8\), тогда \(\cos \theta = \sqrt{1 - 0.8^2} = \sqrt{0.36} = 0.6\). Однако, такое утверждение может быть неверным, если рассматривается угол > 90°.

3. Значение тангенса острого угла принадлежит промежутку (0;1).
   Это утверждение неверно. Тангенс может принимать значения больше единицы для острых углов больше 45°.

4. Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
   Это утверждение верно. Котангенс угла \(\theta\) определяется как \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{adjacent}{opposite}\).

Верные утверждения: 4

---

4. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ=13, а катет АВ=5. Вычислите sinA, tgC

У нас есть:

• Гипотенуза \(AB = 13\)
• Один катет \(AC = 5\)

Сначала вычислим второй катет \(BC\) по теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies 13^2 = 5^2 + BC^2 \implies 169 = 25 + BC^2 \implies BC^2 = 144 \implies BC = 12. \]

Теперь мы можем найти синус \(A\) и тангенс \(C\):

• \(\sin A = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}\)
• \(\tan C = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}\)

Ответ:

• sinA = 5/13
• tgC = 12/5

---

5. В прямоугольном треугольнике АС гипотенуза АС равна 20. Найдите катет ВС, если синус угла А равен 0,8.

Используем формулу для нахождения противолежащего катета: \[ \sin A = \frac{BC}{AC} \implies BC = AC \cdot \sin A = 20 \cdot 0,8 = 16. \]

Ответ:

• Катет \(BC = 16\)

---

6. Найти катеты прямоугольного треугольника, если гипотенуза и один из острых углов соответственно равны 12 см и 45°.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике оба катета равны.

Обозначим катеты \(AB = AC = x\). По теореме Пифагора: \[ AB^2 + AC^2 = AC^2 \implies x^2 + x^2 = 12^2 \implies 2x^2 = 144 \implies x^2 = 72 \implies x = 6\sqrt{2}. \]

Ответ:

• Катеты \(AB = AC = 6\sqrt{2}\)

---

7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена высота BD. Найдите боковые стороны и высоту BD, если угол А равен 90°, AC=b

В равнобедренном треугольнике с основанием \(AC\) проведем высоту \(BD\). Если угол \(A\) равен \(90°\), то треугольник является равнобедренным с углом \(45°\): \[ BD = \frac{b}{2} \ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} \implies AB = \frac{b \sqrt{2}}{2}. \]

(Боковые стороны равны, высота будет равна половине основания)

Ответ: Боковые стороны: \(b\sqrt{2}/2\); высота: \(b/2\)

---

8. Один из углов ромба равен 60°, а диагональ, исходящая из вершины этого угла, равна 6. Найдите вторую диагональ и сторону ромба.

Ромб состоит из двух равнобедренных треугольников. Пусть

• диагональ \(AC = 6\)
• угол \(CAB = 30°\)

Вычислим сторону \(AB\) по формуле \[ AB = \frac{AC}{\cos(30°)} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = 4\sqrt{3}. \]

Теперь найдём вторую диагональ \(BD\) используя аналогичные треугольники: \[ BD = 2(AB\sin(30°)) = 2(4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}) = 4\sqrt{3}. \]

Ответ:

• Вторая диагональ = \(4\sqrt{3}\); Сторона ромба: \(4\sqrt{3}\).

---

9. В равнобедренной трапеции MNKT большее основание MT=m, угол Т равен

Имеем равнобедренную трапецию \(MNKT\) с основанием \(MT\) и углом \(T\):

1. Определяем стороны \(MN\), \(NK\), \(KT\).

2. Периметр трапеции составит: \[\text{Периметр} = MT + MN + KT + NK,\] где \(MN\) и \(KT\) равны.

3. Получив значение, можем найти площадь через формулу о высоте и оснований.

Решения остаются по аналогичной схеме.