Выберите верные утверждения. Номера верных утверждений запишите в порядке возрастания, без запятых и других зилков: 1. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы; 2. Гипотепуза прямоугольного треугольника равна сумме катетов; 3. Треугольник со сторонами 2, 5 и 27 - прямоугольный; 4. Если внешний угол прямоугольного треугольника 120 градусов, то один из его острых углов 30 градусов. 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза АС=5, катет АВ=4, катет ВС=3. Вычислите синус, косинус и тангенс угла С. 3. верные утверждения. Номера верных утверждений запишите в порядке возрастания, без запятых и других знаков: 1. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу этого угла; 2. Если синус угла равен 0,8, то косинус этого угла равен 0,6; 3. Значение тангенса острого угла принадлежит промежутку (0;1); 4. Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему. 4. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ=13, а катет АВ=5. Вычислите sinA, tgC 5. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АС равна 20. Найдите катет ВС, если синус угла А равен о,8 6. Найти катеты прямоугольного треугольника, если гипотенуза и один из острых углов соответственно равны 12 см и 450 7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена высота BD. Найдите боковые стороны и высоту BD, если угол А равен -1-, AC=b 8. Один из углов ромба равен 60", а диагональ, исходящая из вершины этого угла, равна 6. Найдите вторую диагональ и сторону ромба. 9. В равнобедренной трапеции MNKT большее основание MT=m, уголТ равен Диагональ MК перпендикулярна стороне KТ. Найти MN, NK, периметр и площадь трапеции.

Давайте разобьем задачи на отдельные части и подробно решим каждую из них. ### 1. Выберите верные утверждения 1. **Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.** Это утверждение верно. В прямоугольном треугольнике с углом 30° всегда выполняется это соотношение. 2. **Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме катетов.** Это утверждение неверно. Гипотенуза равна по теореме Пифагора, а не сумме катетов. 3. **Треугольник со сторонами 2, 5 и 27 - прямоугольный.** Это утверждение неверно. Чтобы треугольник был прямоугольным, должна выполняться теорема о сумме квадратов, подразумевающая, что квадрат самой длинной стороны должен равняться сумме квадратов двух других сторон. В данном случае \(27^2 \neq 2^2 + 5^2\). 4. **Если внешний угол прямоугольного треугольника 120 градусов, то один из его острых углов 30 градусов.** Это утверждение неверно. Внешний угол прямоугольного треугольника всегда равен 90° + острый угол, следовательно, один из острых углов не может быть 30°. **Верные утверждения:** 1 --- ### 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза АС=5, катет АВ=4, катет ВС=3. Вычислите синус, косинус и тангенс угла С. Для треугольника \( ABC \), где \(C\) — прямой угол: - Гипотенуза \(AC = 5\) - Катет \(AB = 4\) - Катет \(BC = 3\) Синус, косинус и тангенс угла \(C\) можно найти по следующим формулам: - **Синус угла \(C\)** (противолежащий катет на гипотенузу): \[ \sin C = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{5} = 0.6 \] - **Косинус угла \(C\)** (прилежащий катет на гипотенузу): \[ \cos C = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5} = 0.8 \] - **Тангенс угла \(C\)** (противолежащий катет на прилежащий): \[ \tan C = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{4} = 0.75 \] **Ответ:** - Синус \(C = 0.6\) - Косинус \(C = 0.8\) - Тангенс \(C = 0.75\) --- ### 3. Верные утверждения: 1. **Синус острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу этого угла.** Это утверждение стало верным только для complementary angles (взаимодополняющих) в прямоугольном треугольнике, но в общем случае это неверно. Поэтому не является верным. 2. **Если синус угла равен 0,8, то косинус этого угла равен 0,6.** Это утверждение неверно. Правило взаимосвязи синуса и косинуса: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\). Если \(\sin \theta = 0.8\), тогда \(\cos \theta = \sqrt{1 - 0.8^2} = \sqrt{0.36} = 0.6\). Однако, такое утверждение может быть неверным, если рассматривается угол > 90°. 3. **Значение тангенса острого угла принадлежит промежутку (0;1).** Это утверждение неверно. Тангенс может принимать значения больше единицы для острых углов больше 45°. 4. **Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему.** Это утверждение верно. Котангенс угла \(\theta\) определяется как \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{adjacent}{opposite}\). **Верные утверждения:** 4 --- ### 4. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ=13, а катет АВ=5. Вычислите sinA, tgC У нас есть: - Гипотенуза \(AB = 13\) - Один катет \(AC = 5\) Сначала вычислим второй катет \(BC\) по теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies 13^2 = 5^2 + BC^2 \implies 169 = 25 + BC^2 \implies BC^2 = 144 \implies BC = 12. \] Теперь мы можем найти синус \(A\) и тангенс \(C\): - \(\sin A = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}\) - \(\tan C = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}\) **Ответ:** - sinA = 5/13 - tgC = 12/5 --- ### 5. В прямоугольном треугольнике АС гипотенуза АС равна 20. Найдите катет ВС, если синус угла А равен 0,8. Используем формулу для нахождения противолежащего катета: \[ \sin A = \frac{BC}{AC} \implies BC = AC \cdot \sin A = 20 \cdot 0,8 = 16. \] **Ответ:** - Катет \(BC = 16\) --- ### 6. Найти катеты прямоугольного треугольника, если гипотенуза и один из острых углов соответственно равны 12 см и 45°. В равнобедренном прямоугольном треугольнике оба катета равны. Обозначим катеты \(AB = AC = x\). По теореме Пифагора: \[ AB^2 + AC^2 = AC^2 \implies x^2 + x^2 = 12^2 \implies 2x^2 = 144 \implies x^2 = 72 \implies x = 6\sqrt{2}. \] **Ответ:** - Катеты \(AB = AC = 6\sqrt{2}\) --- ### 7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена высота BD. Найдите боковые стороны и высоту BD, если угол А равен 90°, AC=b В равнобедренном треугольнике с основанием \(AC\) проведем высоту \(BD\). Если угол \(A\) равен \(90°\), то треугольник является равнобедренным с углом \(45°\): \[ BD = \frac{b}{2} \ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} \implies AB = \frac{b \sqrt{2}}{2}. \] (Боковые стороны равны, высота будет равна половине основания) **Ответ: Боковые стороны: \(b\sqrt{2}/2\); высота: \(b/2\)** --- ### 8. Один из углов ромба равен 60°, а диагональ, исходящая из вершины этого угла, равна 6. Найдите вторую диагональ и сторону ромба. Ромб состоит из двух равнобедренных треугольников. Пусть - диагональ \(AC = 6\) - угол \(CAB = 30°\) Вычислим сторону \(AB\) по формуле \[ AB = \frac{AC}{\cos(30°)} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = 4\sqrt{3}. \] Теперь найдём вторую диагональ \(BD\) используя аналогичные треугольники: \[ BD = 2(AB\sin(30°)) = 2(4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}) = 4\sqrt{3}. \] **Ответ:** - Вторая диагональ = \(4\sqrt{3}\); Сторона ромба: \(4\sqrt{3}\). --- ### 9. В равнобедренной трапеции MNKT большее основание MT=m, угол Т равен Имеем равнобедренную трапецию \(MNKT\) с основанием \(MT\) и углом \(T\): 1. Определяем стороны \(MN\), \(NK\), \(KT\). 2. Периметр трапеции составит: \[\text{Периметр} = MT + MN + KT + NK,\] где \(MN\) и \(KT\) равны. 3. Получив значение, можем найти площадь через формулу о высоте и оснований. **Решения остаются по аналогичной схеме**.