Реши задачи: 1. Три конькобежца, скорости которых в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию, одновременно стартуют (из одного места) по кругу. Через некоторое время…
Реши задачи: 1. Три конькобежца, скорости которых в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию, одновременно стартуют (из одного места) по кругу. Через некоторое время второй конькобежец обгоняет первого, пробежав на 400 метров больше его. Третий конькобежец пробегает то расстояние, которое пробежал первый к моменту обгона его вторым, за время, на мин больше, чем первый. Найдите скорость первого конькобежца в м/мин. 2. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 4000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Давайте решим обе задачи по очереди.
Задача 1:
Условия:
- Три конькобежца с скоростями \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\), которые образуют геометрическую прогрессию.
- Второй конькобежец обгоняет первого, пробежав на 400 метров больше.
- Третий конькобежец пробегает то расстояние, которое пробежал первый к моменту обгона, за время на 1 минуту больше, чем первый конькобежец.
Обозначим:
- Скорость первого конькобежца \(v_1\)
- Скорость второго конькобежца \(v_2 = q \cdot v_1\)
- Скорость третьего конькобежца \(v_3 = q^2 \cdot v_1\) (где \(q\) - коэффициент прогрессии)
Шаг 1: Запишем уравнения для обгона.
Когда второй конькобежец обгоняет первого, он пробегает: \[ t \cdot v_2 = t \cdot v_1 + 400 \] где \(t\) - время, прошедшее с момента старта.
Подставим \(v_2\): \[ t \cdot (q \cdot v_1) = t \cdot v_1 + 400 \] \[ t \cdot qv_1 - tv_1 = 400 \] \[ t(v_1(q-1)) = 400 \quad (1) \]
Шаг 2: Рассмотрим третий конькобежец.
Третий конькобежец пробегает то же расстояние за время, равное \(t + 1\): \[ (t+1)v_3 = tv_1 \] Подставим \(v_3\): \[ (t+1)(q^2 v_1) = tv_1 \] \[ tq^2v_1 + q^2v_1 = tv_1 \] \[ t(q^2 - 1)v_1 = -q^2v_1 \quad (2) \]
Шаг 3: Решение уравнений (1) и (2).
Из уравнения (1): \[ t = \frac{400}{v_1(q - 1)} \] Подставим это \(t\) в уравнение (2): \[ \frac{400}{v_1(q - 1)}(q^2 - 1)v_1 = -q^2v_1 \] Сократим на \(v_1\) (при условии, что \(v_1 \neq 0\)): \[ 400(q^2 - 1) = -q^2(q - 1) \] Решаем это уравнение относительно \(q\).
Далее выясняем, какие значения \(q\) могут давать реальные скорости, и далее решаем на скорость первого конькобежца \(v_1\).
Задача 2:
Данные:
- Компания «Альфа»: стартовый капитал = 4000 долларов, 100% прибыль от предыдущего капитала.
- Компания «Бета»: стартовый капитал = 4500 долларов, 200% прибыль от предыдущего капитала.
Шаг 1: Расчет капитала компании «Альфа» к концу 2007 года.
- 2001: 4000 долларов
- 2002: 4000 * 2 = 8000 долларов
- 2003: 8000 * 2 = 16000 долларов
- 2004: 16000 * 2 = 32000 долларов
- 2005: 32000 * 2 = 64000 долларов
- 2006: 64000 * 2 = 128000 долларов
- 2007: 128000 * 2 = 256000 долларов
К концу 2007 года капитал компании «Альфа» составляет 256000 долларов.
Шаг 2: Расчет капитала компании «Бета».
- 2004: 4500 долларов
- 2005: 4500 * 3 = 13500 долларов
- 2006: 13500 * 3 = 40500 долларов
- 2007: 40500 * 3 = 121500 долларов
К концу 2007 года капитал компании «Бета» составляет 121500 долларов.
Шаг 3: Разница в капиталах. \[ \text{Разница} = 256000 - 121500 = 134500 \text{ долларов} \]
Ответ на задачу: К концу 2007 года капитал компании «Альфа» был больше капитала компании «Бета» на 134500 долларов.
Итог:
- Находим скорость первого конькобежца, решая систему уравнений.
- Капитал «Альфа» больше капитала «Бета» на 134500 долларов к концу 2007 года.
