Реши

Чтобы построить график функции и решить задачу, разберём каждую часть по отдельности и найдём нужные точки пересечения.

Разбор функции

Функция задана кусочно:

1. \( y = 2x^2 - 3x - 2 \), если \( x \geq 0 \)
2. \( y = 3x + 1 \), если \( x < 0 \)

Построение графика:

1. График \( y = 2x^2 - 3x - 2 \) для \( x \geq 0 \):

Это квадратная функция (парабола), для её построения:

• Найти вершину параболы:

  Формула для вершины \( x \) -координаты: \( x = -\frac{b}{2a} \). Здесь \( a = 2 \), \( b = -3 \).

  \[ x = -\frac{-3}{2 \times 2} = \frac{3}{4} \]

  \( y \)-координата вершины:

  \[ y = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{4}\right) - 2 = 2 \times \frac{9}{16} - \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} - 2 = -\frac{41}{8} \]

  Вершина: \( \left(\frac{3}{4}, -\frac{41}{8}\right) \)

• Находим пересечение с \( y \)-осью:

  Подставляем \( x = 0 \):

  \[ y = 2(0)^2 - 3(0) - 2 = -2 \]

  Пересечение: \( (0, -2) \)

2. График \( y = 3x + 1 \) для \( x < 0 \):

Это линейная функция. Легко построить через две точки:

• Подставляем \( x = 0 \): \( y = 1 \). Но эта точка не подходит, так как \( x < 0 \).

• Подставляем другие значения:

  \[ x = -1 \Rightarrow y = 3(-1) + 1 = -2 \quad \Rightarrow (-1, -2) \] \[ x = -2 \Rightarrow y = 3(-2) + 1 = -5 \quad \Rightarrow (-2, -5) \]

Поиск пересечений с прямой \( y = m \):

Для нахождения отправных точек пересечения с прямой \( y = m \) найдем:

1. Найдите точки пересечения \( 2x^2 - 3x - 2 = m \) с условием \( x \geq 0 \): Решите квадратное уравнение \( 2x^2 - 3x - (2 + m) = 0 \).

2. Найдите точки пересечения \( 3x + 1 = m \) с условием \( x < 0 \): Решите линейное уравнение \( 3x + 1 = m \).

Пример для \( y = m \):

• Для линейной части \( 3x + 1 = m \), решаем \( 3x = m - 1 \), значит \( x = \frac{m - 1}{3} \).
• Для параболы, решаем \( 2x^2 - 3x + (2 - m) = 0 \) относительно \( x \).

Найдите значение \( m \), при котором кривая имеет ровно две общие точки:

1. Одна общая точка должна приходиться на область, где \( x \geq 0 \).
2. Вторая общая точка будет в области \( x < 0 \).

Вычисления зависят от детерминанта квадратного уравнения и диапазона \( x \).

Итог

Таким образом, решение в виде числового промежутка требует вычислений для различных значений \( m \), чтобы обеспечить, что в обоих частях графика пересечения совпадают с заданным условием ровно в двух общих точках. Подбор значений зависит от совместного решения систем уравнений.