треугольнике M N K MNK ∠ M = 90 ° ∠M=90° , ∠ N = 45 ° ∠N=45° , M N = 27 2 MN=27 2 ​ . Чему равна гипотенуза этого треугольника?

Давай разберем задачу шаг за шагом.

Условия задачи

У нас есть прямоугольный треугольник MNK с углом:

• ∠M = 90° (прямой угол)
• ∠N = 45°
• Длина стороны MN (катет против угла N) равна \( MN = 27 \sqrt{2} \)

Ход решения

1. Нахождение угла K: В прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°. Поскольку у нас уже есть 90° и 45°, угол K будет: \[ ∠K = 180° - ∠M - ∠N = 180° - 90° - 45° = 45° \] Таким образом, у нас треугольник с двумя углами по 45°. Это значит, что этот треугольник является равнобедренным (катеты равны).

2. Нахождение длины другого катета: В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны длиной: \[ NK = MN = 27\sqrt{2} \]

3. Нахождение гипотенузы: По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, где \( c \) — гипотенуза, а \( a \) и \( b \) — катеты, справедливо: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] В нашем случае:

   • \( a = MN = 27\sqrt{2} \)
   • \( b = NK = 27\sqrt{2} \)

   Подставим значения: \[ c^2 = (27\sqrt{2})^2 + (27\sqrt{2})^2 \]

   Вычисляем: \[ c^2 = 729 \cdot 2 + 729 \cdot 2 = 1458 + 1458 = 2916 \]

   Теперь находим гипотенузу \( c \): \[ c = \sqrt{2916} \] Находим корень: \[ c = 54 \]

Ответ

Гипотенуза треугольника MNK равна 54.