Решите систему: {y=4x-x² {x+y=6

Для решения данной системы уравнений: 1. \( y = 4x - x^2 \) 2. \( x + y = 6 \) начнем с подстановки первого уравнения во второе. ### Шаг 1: Подставим первое уравнение во второе Заменим \( y \) в уравнении \( x + y = 6 \) на \( 4x - x^2 \): \[ x + (4x - x^2) = 6 \] ### Шаг 2: Упростим уравнение Скомбинируем похожие члены: \[ x + 4x - x^2 = 6 \implies 5x - x^2 = 6 \] Перепишем уравнение, чтобы привести его к стандартному виду: \[ -x^2 + 5x - 6 = 0 \] ### Шаг 3: Перепишем уравнение Умножим все члены на -1, чтобы упростить: \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] ### Шаг 4: Найдем корни уравнения Для нахождения корней уравнения воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 6 \). Теперь вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \] ### Шаг 5: Находим корни Теперь подставим значения в формулу: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2} \] Получаем два корня: 1. \( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \) 2. \( x_2 = \frac{4}{2} = 2 \) ### Шаг 6: Найдем соответствующие значения \( y \) Теперь подставим найденные значения \( x \) в уравнение \( y = 4x - x^2 \). Для \( x_1 = 3 \): \[ y_1 = 4 \cdot 3 - 3^2 = 12 - 9 = 3 \] Для \( x_2 = 2 \): \[ y_2 = 4 \cdot 2 - 2^2 = 8 - 4 = 4 \] ### Шаг 7: Записываем ответ Таким образом, мы получили два решения для системы уравнений: 1. \( (x_1, y_1) = (3, 3) \) 2. \( (x_2, y_2) = (2, 4) \) **Ответ:** Система имеет два решения: \( (3, 3) \) и \( (2, 4) \).