Решите систему: {y=4x-x² {x+y=6
Для решения данной системы уравнений:
- \( y = 4x - x^2 \)
- \( x + y = 6 \)
начнем с подстановки первого уравнения во второе.
Шаг 1: Подставим первое уравнение во второе
Заменим \( y \) в уравнении \( x + y = 6 \) на \( 4x - x^2 \):
\[ x + (4x - x^2) = 6 \]
Шаг 2: Упростим уравнение
Скомбинируем похожие члены:
\[ x + 4x - x^2 = 6 \implies 5x - x^2 = 6 \]
Перепишем уравнение, чтобы привести его к стандартному виду:
\[ -x^2 + 5x - 6 = 0 \]
Шаг 3: Перепишем уравнение
Умножим все члены на -1, чтобы упростить:
\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]
Шаг 4: Найдем корни уравнения
Для нахождения корней уравнения воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 6 \).
Теперь вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]
Шаг 5: Находим корни
Теперь подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2} \]
Получаем два корня:
- \( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \)
- \( x_2 = \frac{4}{2} = 2 \)
Шаг 6: Найдем соответствующие значения \( y \)
Теперь подставим найденные значения \( x \) в уравнение \( y = 4x - x^2 \).
Для \( x_1 = 3 \):
\[ y_1 = 4 \cdot 3 - 3^2 = 12 - 9 = 3 \]
Для \( x_2 = 2 \):
\[ y_2 = 4 \cdot 2 - 2^2 = 8 - 4 = 4 \]
Шаг 7: Записываем ответ
Таким образом, мы получили два решения для системы уравнений:
- \( (x_1, y_1) = (3, 3) \)
- \( (x_2, y_2) = (2, 4) \)
Ответ:
Система имеет два решения: \( (3, 3) \) и \( (2, 4) \).
