Алгебра, геометрическая прогрессия. 9 класс

Чтобы решить задачу о нахождении членов геометрической прогрессии, нужно понимать основные понятия и формулы.

Основные понятия

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (q).

Формула общего члена геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]

где:

• \( b_n \) — \( n \)-ый член прогрессии,
• \( b_1 \) — первый член прогрессии,
• \( q \) — знаменатель прогрессии,
• \( n \) — номер члена.

Задача

а) Найти \( b_1, b_2, 225, -135, 81, b_5, \ldots \)

1. Члены прогрессии: \( b_1, b_2, 225, -135, 81, b_5, \ldots \)

2. Найдем знаменатель (q):

   • Известно, что \( b_3 = 225 \), \( b_4 = -135 \), \( b_5 = 81 \).
   • \[ q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{-135}{225} = -0.6 \]
   • \[ q = \frac{b_5}{b_4} = \frac{81}{-135} = -0.6 \]

   Значение \( q \) совпадает, значит расчёт верен.

3. Найдем \( b_1 \):

   • Используем формулу \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \).

   \[ 225 = b_1 \cdot (-0.6)^2 \] \[ 225 = b_1 \cdot 0.36 \] \[ b_1 = \frac{225}{0.36} = 625 \]

4. Найдем \( b_2 \):

   \[ b_2 = b_1 \cdot q = 625 \cdot (-0.6) = -375 \]

б) Найти \( b_1, b_2, b_3, 36, 54, \ldots \)

1. Члены прогрессии: \( b_1, b_2, b_3, 36, 54, \ldots \)

2. Найдем знаменатель (q):

   • Даны члены \( b_4 = 36 \) и \( b_5 = 54 \).
   • \[ q = \frac{b_5}{b_4} = \frac{54}{36} = 1.5 \]

3. Найдем \( b_1 \):

   • Используем формулу \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \).

   \[ 36 = b_1 \cdot (1.5)^3 \] \[ 36 = b_1 \cdot 3.375 \] \[ b_1 = \frac{36}{3.375} \approx 10.67 \]

4. Найдем \( b_2 \):

   \[ b_2 = b_1 \cdot q = 10.67 \cdot 1.5 \approx 16 \]

5. Найдем \( b_3 \):

   \[ b_3 = b_2 \cdot q = 16 \cdot 1.5 = 24 \]

Таким образом, члены прогрессии найдены.