Y=9x+1/x найти точки максимума и минимума

Для того чтобы найти точки максимума и минимума функции \( Y = 9x + \frac{1}{x} \), нужно выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Найти производную функции Сначала найдем производную функции \( Y \) по \( x \). \[ Y' = \frac{d}{dx}(9x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) \] Применяем правило дифференцирования: 1. Производная \( 9x \) равна \( 9 \). 2. Производная \( \frac{1}{x} \) равна \( -\frac{1}{x^2} \). Таким образом, производная функции будет: \[ Y' = 9 - \frac{1}{x^2} \] ### Шаг 2: Найти критические точки Для нахождения критических точек необходимо приравнять производную к нулю: \[ 9 - \frac{1}{x^2} = 0 \] Выровняем уравнение: \[ \frac{1}{x^2} = 9 \] Теперь умножим обе стороны на \( x^2 \) и получим: \[ 1 = 9x^2 \] Разделим обе стороны на 9: \[ x^2 = \frac{1}{9} \] Теперь извлечем корень: \[ x = \pm \frac{1}{3} \] ### Шаг 3: Определить, является ли каждая критическая точка максимумом или минимумом Для этого воспользуемся вторым производным тестом. Для начала найдем вторую производную функции \( Y \): \[ Y'' = \frac{d}{dx}(9 - \frac{1}{x^2}) \] Производная \( 9 \) равна \( 0 \), а для \( -\frac{1}{x^2} \) производная равна: \[ \frac{2}{x^3} \] Таким образом, вторая производная будет: \[ Y'' = \frac{2}{x^3} \] Теперь подставим критические точки в \( Y'' \): 1. Для \( x = \frac{1}{3} \): \[ Y''\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{\left(\frac{1}{3}\right)^3} = \frac{2}{\frac{1}{27}} = 2 \cdot 27 = 54 > 0 \] Это означает, что в точке \( x = \frac{1}{3} \) функция имеет минимум. 2. Для \( x = -\frac{1}{3} \): \[ Y''\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{\left(-\frac{1}{3}\right)^3} = \frac{2}{-\frac{1}{27}} = -54 < 0 \] Это говорит о том, что в точке \( x = -\frac{1}{3} \) функция имеет максимум. ### Итоговые результаты - **Точка минимума:** \( x = \frac{1}{3} \) - **Точка максимума:** \( x = -\frac{1}{3} \) Теперь вы знаете, как находить максимумы и минимумы функции \( Y = 9x + \frac{1}{x} \)! Если есть дополнительные вопросы или непонятные моменты — не стесняйтесь, спрашивайте!