Y=9x+1/x найти точки максимума и минимума
Для того чтобы найти точки максимума и минимума функции \( Y = 9x + \frac{1}{x} \), нужно выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найти производную функции
Сначала найдем производную функции \( Y \) по \( x \).
\[ Y' = \frac{d}{dx}(9x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) \]
Применяем правило дифференцирования:
- Производная \( 9x \) равна \( 9 \).
- Производная \( \frac{1}{x} \) равна \( -\frac{1}{x^2} \).
Таким образом, производная функции будет:
\[ Y' = 9 - \frac{1}{x^2} \]
Шаг 2: Найти критические точки
Для нахождения критических точек необходимо приравнять производную к нулю:
\[ 9 - \frac{1}{x^2} = 0 \]
Выровняем уравнение:
\[ \frac{1}{x^2} = 9 \]
Теперь умножим обе стороны на \( x^2 \) и получим:
\[ 1 = 9x^2 \]
Разделим обе стороны на 9:
\[ x^2 = \frac{1}{9} \]
Теперь извлечем корень:
\[ x = \pm \frac{1}{3} \]
Шаг 3: Определить, является ли каждая критическая точка максимумом или минимумом
Для этого воспользуемся вторым производным тестом. Для начала найдем вторую производную функции \( Y \):
\[ Y'' = \frac{d}{dx}(9 - \frac{1}{x^2}) \]
Производная \( 9 \) равна \( 0 \), а для \( -\frac{1}{x^2} \) производная равна:
\[ \frac{2}{x^3} \]
Таким образом, вторая производная будет:
\[ Y'' = \frac{2}{x^3} \]
Теперь подставим критические точки в \( Y'' \):
- Для \( x = \frac{1}{3} \):
\[ Y''\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{\left(\frac{1}{3}\right)^3} = \frac{2}{\frac{1}{27}} = 2 \cdot 27 = 54 > 0 \]
Это означает, что в точке \( x = \frac{1}{3} \) функция имеет минимум.
- Для \( x = -\frac{1}{3} \):
\[ Y''\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{\left(-\frac{1}{3}\right)^3} = \frac{2}{-\frac{1}{27}} = -54 < 0 \]
Это говорит о том, что в точке \( x = -\frac{1}{3} \) функция имеет максимум.
Итоговые результаты
- Точка минимума: \( x = \frac{1}{3} \)
- Точка максимума: \( x = -\frac{1}{3} \)
Теперь вы знаете, как находить максимумы и минимумы функции \( Y = 9x + \frac{1}{x} \)! Если есть дополнительные вопросы или непонятные моменты — не стесняйтесь, спрашивайте!
