Реши квадратные уравнения выделяя полный квадрат двучлена
Для решения квадратных уравнений выделением полного квадрата двучлена, следуем шагам:
1) \(x^2 + 6x + 5 = 0\)
Шаг 1: Выделим полный квадрат.
Возьмем коэффициент при \(x\), который равен 6, разделим его на 2 и возведем в квадрат:
\[ \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9 \]
Добавим и вычтем 9 в уравнении:
\[ x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = 0 \]
Перепишем уравнение как полный квадрат:
\[ (x + 3)^2 - 4 = 0 \]
Шаг 2: Решим уравнение:
Упростим:
\[ (x + 3)^2 = 4 \]
Найдём корни, извлекая квадратный корень:
\[ x + 3 = \pm 2 \]
Получаем два уравнения:
\[ x + 3 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \]
\[ x + 3 = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -5 \]
Ответ: \(-5, -1\).
2) \(x^2 - 12x + 20 = 0\)
Шаг 1: Выделим полный квадрат.
Возьмем коэффициент при \(x\), который равен -12, разделим его на 2 и возведем в квадрат:
\[ \left(\frac{-12}{2}\right)^2 = 36 \]
Добавим и вычтем 36 в уравнении:
\[ x^2 - 12x + 36 - 36 + 20 = 0 \]
Перепишем уравнение как полный квадрат:
\[ (x - 6)^2 - 16 = 0 \]
Шаг 2: Решим уравнение:
Упростим:
\[ (x - 6)^2 = 16 \]
Найдём корни, извлекая квадратный корень:
\[ x - 6 = \pm 4 \]
Получаем два уравнения:
\[ x - 6 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \]
\[ x - 6 = -4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]
Ответ: \(2, 10\).
Итоговые ответы:
- \(-5, -1\)
- \(2, 10\)
