В прямоугольном треугольнике A B C ABC гипотенуза A B = 24 AB=24 , а площадь равна 72 72 . Найди меньший острый угол этого треугольника. Ответ запиши в градусах

В данном примере нам нужно найти меньший острый угол прямоугольного треугольника ABC, в котором:

• гипотенуза \( AB = 24 \)
• площадь \( S = 72 \)

Шаг 1: Найти длины катетов

Площадь \( S \) прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — длины катетов.

Из данной информации у нас: \[ 72 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Упрощая это уравнение, получаем: \[ a \cdot b = 144 \]

Шаг 2: Использовать теорему Пифагора

В прямоугольном треугольнике также выполняется теорема Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] где \( c \) — длина гипотенузы. В нашем случае: \[ a^2 + b^2 = 24^2 = 576 \]

Шаг 3: Система уравнений

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. \( a \cdot b = 144 \)
2. \( a^2 + b^2 = 576 \)

Шаг 4: Подставим \( b \)

Из первого уравнения выразим \( b \): \[ b = \frac{144}{a} \] Теперь подставим это значение во второе уравнение: \[ a^2 + \left(\frac{144}{a}\right)^2 = 576 \] Умножим оба стороны на \( a^2 \) (при условии, что \( a \neq 0 \)): \[ a^4 - 576a^2 + 20736 = 0 \] Обозначим \( x = a^2 \): \[ x^2 - 576x + 20736 = 0 \]

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение

Используем дискриминант \( D \): \[ D = (-576)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20736 = 331776 - 82944 = 248832 \] Теперь находим корни уравнения: \[ x = \frac{576 \pm \sqrt{248832}}{2} \] Корень из \( 248832 \) можно найти, но это довольно громоздко. Давайте вычислим это: \[ \sqrt{248832} \approx 498.83 \]

Теперь подставляем: \[ x_1 \approx \frac{576 + 498.83}{2} \approx 537.415 \] \[ x_2 \approx \frac{576 - 498.83}{2} \approx 38.585 \]

Шаг 6: Найдем значения катетов \( a \) и \( b \)

Теперь возвращаемся к \( a \) и \( b \):

1. \( a^2 \approx 537.415 \) и \( b^2 \approx 38.585 \):
   • \( a \approx 23.2 \)
   • \( b \approx 6.2 \)

Шаг 7: Находим углы

Теперь находим меньший острый угол, используя тангенс: \[ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) = \arctan\left(\frac{6.2}{23.2}\right) \]

Шаг 8: Расчет угла

Используем калькулятор для нахождения угла: \[ \theta \approx \arctan(0.267) \approx 15° \]

Таким образом, меньший острый угол в прямоугольном треугольнике ABC составляет примерно 15 градусов.