В данном примере нам нужно найти меньший острый угол прямоугольного треугольника ABC, в котором:
- гипотенуза ( AB = 24 )
- площадь ( S = 72 )
Шаг 1: Найти длины катетов
Площадь ( S ) прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
где ( a ) и ( b ) — длины катетов.
Из данной информации у нас:
[
72 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
Упрощая это уравнение, получаем:
[
a \cdot b = 144
]
Шаг 2: Использовать теорему Пифагора
В прямоугольном треугольнике также выполняется теорема Пифагора:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
где ( c ) — длина гипотенузы. В нашем случае:
[
a^2 + b^2 = 24^2 = 576
]
Шаг 3: Система уравнений
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- ( a \cdot b = 144 )
- ( a^2 + b^2 = 576 )
Шаг 4: Подставим ( b )
Из первого уравнения выразим ( b ):
[
b = \frac{144}{a}
]
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
[
a^2 + \left(\frac{144}{a}\right)^2 = 576
]
Умножим оба стороны на ( a^2 ) (при условии, что ( a \neq 0 )):
[
a^4 - 576a^2 + 20736 = 0
]
Обозначим ( x = a^2 ):
[
x^2 - 576x + 20736 = 0
]
Шаг 5: Решаем квадратное уравнение
Используем дискриминант ( D ):
[
D = (-576)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20736 = 331776 - 82944 = 248832
]
Теперь находим корни уравнения:
[
x = \frac{576 \pm \sqrt{248832}}{2}
]
Корень из ( 248832 ) можно найти, но это довольно громоздко. Давайте вычислим это:
[
\sqrt{248832} \approx 498.83
]
Теперь подставляем:
[
x_1 \approx \frac{576 + 498.83}{2} \approx 537.415
]
[
x_2 \approx \frac{576 - 498.83}{2} \approx 38.585
]
Шаг 6: Найдем значения катетов ( a ) и ( b )
Теперь возвращаемся к ( a ) и ( b ):
- ( a^2 \approx 537.415 ) и ( b^2 \approx 38.585 ):
- ( a \approx 23.2 )
- ( b \approx 6.2 )
Шаг 7: Находим углы
Теперь находим меньший острый угол, используя тангенс:
[
\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) = \arctan\left(\frac{6.2}{23.2}\right)
]
Шаг 8: Расчет угла
Используем калькулятор для нахождения угла:
[
\theta \approx \arctan(0.267) \approx 15°
]
Таким образом, меньший острый угол в прямоугольном треугольнике ABC составляет примерно 15 градусов.
