Для решения этой задачи необходимо обратиться к истории старейших театров Омска.
В вопросе указано, что здание театра было возведено в 1905 году и сохранилось до наших дней. Рассмотрим предложенные варианты:
Музыкальный театр - этот вид театров обычно не связан с исторической датой 1905 года в Омске.
Омский академический театр драмы - основан в 1874 году, и его здание действительно построено в 1905 году. Это соответствует заданным условиям.
Театр юного зрителя - театры этого типа в Омске также не связаны с упомянутой датой.
Таким образом, правильный ответ — Омский академический театр драмы. Это старейший театр Омска, здание которого было построено в 1905 году и сохранилось до наших дней.