x^3+5x^2-9x-45=0

Давайте решим уравнение \( x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = 0 \) шаг за шагом, чтобы вы поняли весь процесс.

Шаг 1: Применение метода подбора

Первым шагом при решении кубических уравнений можно воспользоваться методом подбора. Мы будем подбирать различные значения \( x \), чтобы найти корни уравнения. Ищем целые корни с помощью теоремы о рациональных корнях. В данном случае возможные целые корни — это делители свободного члена (-45). Обратим внимание на делители: ±1, ±3, ±5, ±9, ±15, ±45.

Шаг 2: Проверка целых корней

Пробуем подставить некоторые из возможных целых корней в уравнение:

1. Подставим \( x = 3 \): \[ 3^3 + 5 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 - 45 = 27 + 45 - 27 - 45 = 0 \] Значит, \( x = 3 \) — корень уравнения.

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь мы знаем, что \( x = 3 \) — корень, поэтому мы можем использовать деление многочлена, чтобы записать \( x^3 + 5x^2 - 9x - 45 \) в виде \( (x - 3)(Ax^2 + Bx + C) \).

Мы будем делить \( x^3 + 5x^2 - 9x - 45 \) на \( x - 3 \).

Деление:

1. \( x^3 \div x = x^2 \)
2. Умножаем \( x^2 \) на \( x - 3 \): \( x^3 - 3x^2 \)
3. Вычитаем: \[ (x^3 + 5x^2) - (x^3 - 3x^2) = 8x^2 \]
4. Спустим -9x: \( 8x^2 - 9x \).
5. Теперь делим: \( 8x^2 \div x = 8x \).
6. Умножаем \( 8x \) на \( x - 3 \): \( 8x^2 - 24x \).
7. Вычитаем: \[ (-9x + 24x) = 15x \]
8. Спустим -45: \( 15x - 45 \).
9. Делим: \( 15x \div x = 15 \).
10. Умножаем: \( 15(x - 3) = 15x - 45 \).
11. Вычитаем: это дает в остатке 0.

Итак, мы получили: \[ x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = (x - 3)(x^2 + 8x + 15) \]

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 8x + 15 = 0 \) с помощью формулы квaдратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1, b = 8, c = 15 \).

1. Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \]
2. Находим корни: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 2}{2} \] То есть: \[ x_1 = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3, \] \[ x_2 = \frac{-8 - 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5. \]

Итог

Таким образом, у нашего уравнения есть три корня: \[ x_1 = 3, \quad x_2 = -3, \quad x_3 = -5. \]

Эти корни являются решениями исходного кубического уравнения \( x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = 0 \).