Для того чтобы найти производную функции ( y = (2x^2 + 1)(2 + x) ), мы воспользуемся правилом произведения. Напомним, что правило произведения гласит, что если у вас есть функция ( y = u \cdot v ), где ( u ) и ( v ) — это функции от ( x ), то производная этой функции ( y' ) определяется как:
[
y' = u'v + uv'
]
Шаг 1: Определим функции ( u ) и ( v )
Мы можем задать:
- ( u = 2x^2 + 1 )
- ( v = 2 + x )
Шаг 2: Найдем производные ( u' ) и ( v' )
Теперь мы находим производные для ( u ) и ( v ):
Найдём производную ( u ):
[
u' = \frac{d}{dx}(2x^2 + 1) = 4x
]
Найдём производную ( v ):
[
v' = \frac{d}{dx}(2 + x) = 1
]
Шаг 3: Применим правило произведения
Теперь подставим ( u ), ( v ), ( u' ), и ( v' ) в формулу для производной:
[
y' = u'v + uv'
]
Подставляем найденные значения:
[
y' = (4x)(2 + x) + (2x^2 + 1)(1)
]
Шаг 4: Упрощение
Теперь упростим полученное выражение:
Рассчитаем ( (4x)(2 + x) ):
[
4x \cdot 2 + 4x \cdot x = 8x + 4x^2
]
Рассчитаем ( (2x^2 + 1)(1) ):
[
2x^2 + 1
]
Теперь объединим всё вместе:
[
y' = (8x + 4x^2) + (2x^2 + 1)
]
Это можно упростить, сложив похожие слагаемые:
[
y' = 4x^2 + 2x^2 + 8x + 1 = 6x^2 + 8x + 1
]
Ответ
Таким образом, производная функции ( y ) равна:
[
y' = 6x^2 + 8x + 1
]
