найдите производную функцию у=(2х2+1)(2+х)
Для того чтобы найти производную функции \( y = (2x^2 + 1)(2 + x) \), мы воспользуемся правилом произведения. Напомним, что правило произведения гласит, что если у вас есть функция \( y = u \cdot v \), где \( u \) и \( v \) — это функции от \( x \), то производная этой функции \( y' \) определяется как:
\[ y' = u'v + uv' \]
Шаг 1: Определим функции \( u \) и \( v \)
Мы можем задать:
- \( u = 2x^2 + 1 \)
- \( v = 2 + x \)
Шаг 2: Найдем производные \( u' \) и \( v' \)
Теперь мы находим производные для \( u \) и \( v \):
Найдём производную \( u \): \[ u' = \frac{d}{dx}(2x^2 + 1) = 4x \]
Найдём производную \( v \): \[ v' = \frac{d}{dx}(2 + x) = 1 \]
Шаг 3: Применим правило произведения
Теперь подставим \( u \), \( v \), \( u' \), и \( v' \) в формулу для производной:
\[ y' = u'v + uv' \]
Подставляем найденные значения:
\[ y' = (4x)(2 + x) + (2x^2 + 1)(1) \]
Шаг 4: Упрощение
Теперь упростим полученное выражение:
Рассчитаем \( (4x)(2 + x) \): \[ 4x \cdot 2 + 4x \cdot x = 8x + 4x^2 \]
Рассчитаем \( (2x^2 + 1)(1) \): \[ 2x^2 + 1 \]
Теперь объединим всё вместе:
\[ y' = (8x + 4x^2) + (2x^2 + 1) \]
Это можно упростить, сложив похожие слагаемые:
\[ y' = 4x^2 + 2x^2 + 8x + 1 = 6x^2 + 8x + 1 \]
Ответ
Таким образом, производная функции \( y \) равна:
\[ y' = 6x^2 + 8x + 1 \]
