сколько элементарных событий с 3 успехами возможно в серии из 9

Для решения задачи о количестве элементарных событий с 3 успехами в серии из 9 опытов, мы будем использовать понятие «комбинаций». В данной задаче предполагается, что успех и неуспех являются двумя возможными исходами при каждом исполнении опыта.

Шаг 1: Определение терминов

• Успех: в нашем случае это событие, которое мы хотим учесть (например, получение определенного результата).
• Неуспех: все остальные события, которые не относятся к успеху.
• Элементарные события: все возможные последовательности событий, где точно 3 успеха и 6 неуспехов.

Шаг 2: Формула

Количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) итоговых результатов можно выразить с помощью формулы сочетаний \( C(n, k) \), которая вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n! \) (факториал \( n \)) – произведение всех целых чисел от 1 до \( n \).
• \( k \) – количество успехов (в нашем случае 3).
• \( n \) – общее количество событий (в нашем случае 9).

Шаг 3: Подстановка значений

В нашей задаче:

• \( n = 9 \)
• \( k = 3 \)

Подставляем значения в формулу:

\[ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} \]

Шаг 4: Вычисление факториалов

Теперь посчитаем факториалы:

• \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6! \) (в данном случае мы можем сократить \( 6! \) в числителе и знаменателе)

Теперь подставим:

\[ C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3!} \]

Теперь \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

Шаг 5: Полное вычисление

Теперь подставим значение \( 3! \):

\[ C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} \] \[ = \frac{504}{6} = 84 \]

Ответ

Итак, количество элементарных событий с 3 успехами в серии из 9 составляет 84.