Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна p = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…

Для решения данной задачи мы используем закон распределения вероятностей, так как узлы работают независимо друг от друга. Это типичный случай биномиального распределения, так как у нас есть фиксированное количество "испытаний" (в нашем случае — узлы), и каждые испытания имеют два возможных исхода (работает/не работает).

Дано:

• Количество узлов \( n = 10 \)
• Вероятность безотказной работы узла \( p = 0.8 \)
• Следовательно, вероятность выхода из строя узла равна \( q = 1 - p = 0.2 \)
• Нам нужно найти вероятность того, что за время \( t \) откажут \( k = 4 \) узла.

Шаг 1: Определение формулы биномиального распределения

Вероятность того, что из \( n \) узлов откажет ровно \( k \) узлов, может быть рассчитана по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n - k} \cdot q^k \]

где:

• \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который определяется как:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

• \( p^{n - k} \) — это вероятность того, что \( n - k \) узлов работают,
• \( q^k \) — это вероятность того, что \( k \) узлов вышли из строя.

Шаг 2: Подставляем значения

1. Вычислим биномиальный коэффициент \( C(10, 4) \):

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

2. Теперь подставим все известные значения в формулу:

\[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot p^{10 - 4} \cdot q^4 \]

\[ P(X = 4) = 210 \cdot (0.8)^{6} \cdot (0.2)^{4} \]

Шаг 3: Рассчитаем значения

1. Сначала найдём \( (0.8)^6 \):

\[ (0.8)^6 = 0.262144 \]

2. Теперь найдём \( (0.2)^4 \):

\[ (0.2)^4 = 0.0016 \]

3. Подставим эти результаты в формулу:

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.262144 \cdot 0.0016 \]

Теперь вычислим:

\[ P(X = 4) \approx 210 \cdot 0.262144 \cdot 0.0016 \approx 0.08808 \]

Шаг 4: Окончательный ответ

Вероятность того, что за время \( t \) откажут 4 узла, составляет примерно 0.08808 или 8.81%.

Таким образом, ответ на задачу: вероятность того, что откажут 4 узла, равна примерно 0.08808 или 8.81%.