Для решения данной задачи мы используем закон распределения вероятностей, так как узлы работают независимо друг от друга. Это типичный случай биномиального распределения, так как у нас есть фиксированное количество "испытаний" (в нашем случае — узлы), и каждые испытания имеют два возможных исхода (работает/не работает).
Дано:
- Количество узлов ( n = 10 )
- Вероятность безотказной работы узла ( p = 0.8 )
- Следовательно, вероятность выхода из строя узла равна ( q = 1 - p = 0.2 )
- Нам нужно найти вероятность того, что за время ( t ) откажут ( k = 4 ) узла.
Шаг 1: Определение формулы биномиального распределения
Вероятность того, что из ( n ) узлов откажет ровно ( k ) узлов, может быть рассчитана по формуле биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n - k} \cdot q^k
]
где:
- ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, который определяется как:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
- ( p^{n - k} ) — это вероятность того, что ( n - k ) узлов работают,
- ( q^k ) — это вероятность того, что ( k ) узлов вышли из строя.
Шаг 2: Подставляем значения
- Вычислим биномиальный коэффициент ( C(10, 4) ):
[
C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
]
- Теперь подставим все известные значения в формулу:
[
P(X = 4) = C(10, 4) \cdot p^{10 - 4} \cdot q^4
]
[
P(X = 4) = 210 \cdot (0.8)^{6} \cdot (0.2)^{4}
]
Шаг 3: Рассчитаем значения
- Сначала найдём ( (0.8)^6 ):
[
(0.8)^6 = 0.262144
]
- Теперь найдём ( (0.2)^4 ):
[
(0.2)^4 = 0.0016
]
- Подставим эти результаты в формулу:
[
P(X = 4) = 210 \cdot 0.262144 \cdot 0.0016
]
Теперь вычислим:
[
P(X = 4) \approx 210 \cdot 0.262144 \cdot 0.0016 \approx 0.08808
]
Шаг 4: Окончательный ответ
Вероятность того, что за время ( t ) откажут 4 узла, составляет примерно 0.08808 или 8.81%.
Таким образом, ответ на задачу: вероятность того, что откажут 4 узла, равна примерно 0.08808 или 8.81%.
