В равнобедренном треугольнике ( MNP ) с основанием ( MP ) и углом ( \angle N ) равным ( 64^\circ ), проведем высоту ( MH ) из вершины ( M ) на основание ( MP ).
Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании ( \angle M ) и ( \angle P ) равны. Обозначим угол при основании ( \angle M = \angle P = x ).
Согласно свойству треугольника, сумма всех углов равна ( 180^\circ ):
[
\angle M + \angle P + \angle N = 180^\circ
]
Подставим известные значения:
[
x + x + 64^\circ = 180^\circ
]
Это упростим:
[
2x + 64^\circ = 180^\circ
]
Вычтем ( 64^\circ ) из обеих сторон:
[
2x = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ
]
Теперь найдем ( x ):
[
x = \frac{116^\circ}{2} = 58^\circ
]
Таким образом, углы ( \angle M ) и ( \angle P ) равны ( 58^\circ ).
Поскольку ( MH ) — это высота, то ( \angle MHP = 90^\circ ). Теперь мы можем найти угол ( \angle MPH ):
[
\angle MPH + \angle MHP + \angle M = 180^\circ
]
Подставим известные значения:
[
\angle MPH + 90^\circ + 58^\circ = 180^\circ
]
Упростим уравнение:
[
\angle MPH + 148^\circ = 180^\circ
]
Вычтем ( 148^\circ ) из обеих сторон:
[
\angle MPH = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ
]
Итак, угол ( \angle MPH ) равен ( 32^\circ ).
