Вероятность изготовления на станке нестандартной детали равна 0,1. Найти вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными

Для решения этой задачи мы будем использовать понятие вероятности и биномиальное распределение, так как у нас есть определённое количество независимых испытаний. ### Дано: - Вероятность изготовления нестандартной детали (неудача) \( p = 0.1 \). - Следовательно, вероятность изготовления стандартной детали (успех) \( q = 1 - p = 0.9 \). - Общее количество деталей, которые мы рассматриваем, \( n = 6 \). - Количество успешных событий (стандартных деталей) \( k = 5 \). ### Задача: Найти вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными. Т.е. нам необходима вероятность того, что 5 деталей стандартные и 1 нестандартная. ### Формула биномиального распределения: Вероятность получения ровно \( k \) успехов в \( n \) независимых испытаниях задаётся формулой: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где: - \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который можно найти по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] - \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае — вероятность стандартной детали), - \( (1-p) \) — вероятность неудачи (в нашем случае — нестандартной детали). ### Подстановка значений: 1. Найдём биномиальный коэффициент \( C(6, 5) \): \[ C(6, 5) = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1} = 6 \] 2. Подставим значения в формулу вероятности: \[ P(X = 5) = C(6, 5) \cdot q^5 \cdot p^{6-5} \] Здесь \( q = 0.9\) и \( p = 0.1\). 3. Теперь подставим найденные значения: \[ P(X = 5) = 6 \cdot (0.9)^5 \cdot (0.1)^1 \] 4. Рассчитаем \( (0.9)^5 \): \[ (0.9)^5 = 0.59049 \] 5. Теперь собираем всё вместе: \[ P(X = 5) = 6 \cdot 0.59049 \cdot 0.1 = 6 \cdot 0.059049 = 0.354294 \] ### Ответ: Вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными, равна примерно **0.354** или **35.4%**. Таким образом, вероятность достаточно высока, и результат показывает, что в большинстве случаев из 6 деталей можно ожидать, что 5 из них будут стандартными.