Вероятность изготовления на станке нестандартной детали равна 0,1. Найти вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными
Для решения этой задачи мы будем использовать понятие вероятности и биномиальное распределение, так как у нас есть определённое количество независимых испытаний.
Дано:
- Вероятность изготовления нестандартной детали (неудача) \( p = 0.1 \).
- Следовательно, вероятность изготовления стандартной детали (успех) \( q = 1 - p = 0.9 \).
- Общее количество деталей, которые мы рассматриваем, \( n = 6 \).
- Количество успешных событий (стандартных деталей) \( k = 5 \).
Задача:
Найти вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными. Т.е. нам необходима вероятность того, что 5 деталей стандартные и 1 нестандартная.
Формула биномиального распределения:
Вероятность получения ровно \( k \) успехов в \( n \) независимых испытаниях задаётся формулой:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
\( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который можно найти по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
\( p \) — вероятность успеха (в нашем случае — вероятность стандартной детали),
\( (1-p) \) — вероятность неудачи (в нашем случае — нестандартной детали).
Подстановка значений:
Найдём биномиальный коэффициент \( C(6, 5) \): \[ C(6, 5) = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1} = 6 \]
Подставим значения в формулу вероятности: \[ P(X = 5) = C(6, 5) \cdot q^5 \cdot p^{6-5} \] Здесь \( q = 0.9\) и \( p = 0.1\).
Теперь подставим найденные значения: \[ P(X = 5) = 6 \cdot (0.9)^5 \cdot (0.1)^1 \]
Рассчитаем \( (0.9)^5 \): \[ (0.9)^5 = 0.59049 \]
Теперь собираем всё вместе: \[ P(X = 5) = 6 \cdot 0.59049 \cdot 0.1 = 6 \cdot 0.059049 = 0.354294 \]
Ответ:
Вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными, равна примерно 0.354 или 35.4%.
Таким образом, вероятность достаточно высока, и результат показывает, что в большинстве случаев из 6 деталей можно ожидать, что 5 из них будут стандартными.
