Высота правильной треугольной пирамиды равна sqrt(6) см, а боко вая грань образует с основанием пирамиды угол в 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть правильная треугольная пирамида, которая состоит из основания в виде равностороннего треугольника и трех боковых граней, каждая из которых является равнобедренным треугольником. ### 1. Даны параметры задачи: - Высота пирамиды (h) = \( \sqrt{6} \) см - Угол между боковой гранью и основанием (θ) = 60° ### 2. Определение стороны основания Мы начнем с вычисления длины стороны основания (a) равностороннего треугольника. Для этого нам необходимо знать, как связаны высота пирамиды, угол и длина стороны основания. Высота боковой грани образует прямоугольный треугольник, где: - одна катета равен высоте пирамиды (h = \( \sqrt{6} \)), - другой катет — это половина длины стороны основания (a/2), - прилежащий к углу катет — это расстояние от центра основания до вершины пирамиды, обозначим его как \( l \) (наклонная высота). Используем тригонометрию. В прямоугольном треугольнике, где угол θ = 60°: \[ \tan(θ) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \Rightarrow \tan(60°) = \sqrt{3} \] Подставим значения: \[ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{a}{2}} \] Теперь выразим a: \[ \sqrt{3} \cdot \frac{a}{2} = \sqrt{6} \] Умножим обе стороны на 2: \[ \sqrt{3} a = 2\sqrt{6} \] Теперь получим a: \[ a = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2} \] ### 3. Площадь боковой поверхности Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площадей трех боковых граней. Площадь каждой боковой грани (равнобедренного треугольника) можно найти по формуле: \[ S_{боковой} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \] Грань имеет основание равное длине стороны a и высоту равную наклонной высоте (l). Сначала мы найдем наклонную высоту (l), используя синус: \[ \sin(60°) = \frac{h}{l} \Rightarrow l = \frac{h}{\sin(60°)} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2} \] Теперь мы можем найти площадь одной боковой грани: \[ S_{боковой\;грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ см}^2 \] Так как у нас три боковые грани: \[ S_{боковой\;поверхности} = 3 \cdot S_{боковой\;грани} = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}^2 \] ### 4. Ответ Таким образом, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды составляет **12 см²**.