Чтобы решить систему уравнений
[
\begin{cases}
5x - y = 7 \quad (1) \
3x + 2y = 12 \quad (2)
\end{cases}
]
способом сложения, начнем с того, чтобы выразить одно из уравнений так, чтобы можно было подставить его в другое. Здесь мы будем избавляться от переменной ( y ).
Шаг 1. Преобразование первого уравнения
Из уравнения (1) выразим ( y ):
[
y = 5x - 7 \quad (3)
]
Шаг 2. Подстановка
Теперь подставим выражение для ( y ) из (3) во второе уравнение (2):
[
3x + 2(5x - 7) = 12
]
Шаг 3. Решение уравнения
Раскроем скобки:
[
3x + 10x - 14 = 12
]
Сложим одночлены:
[
13x - 14 = 12
]
Теперь добавим 14 к обеим сторонам уравнения:
[
13x = 12 + 14
]
[
13x = 26
]
Теперь поделим обе стороны на 13:
[
x = \frac{26}{13} = 2
]
Шаг 4. Нахождение ( y )
Теперь, когда мы нашли ( x ), подставим его обратно в уравнение (3) для нахождения ( y ):
[
y = 5(2) - 7
]
[
y = 10 - 7 = 3
]
Ответ
Таким образом, мы получили решение системы уравнений:
[
x = 2, \quad y = 3
]
Это значит, что точка пересечения (решение системы) — это ( (2, 3) ).
Проверка
Чтобы убедиться в правильности, мы можем подставить найденные значения ( x ) и ( y ) обратно в оба уравнения:
- Проверим первое уравнение:
[
5(2) - 3 = 10 - 3 = 7 \quad \text{(верно)}
]
- Проверим второе уравнение:
[
3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12 \quad \text{(верно)}
]
Оба уравнения выполняются, значит решение верное.
