реши систему уравнений 5x-y=7 3x 2y=12 способом сложения
Чтобы решить систему уравнений
\[ \begin{cases} 5x - y = 7 \quad (1) \\ 3x + 2y = 12 \quad (2) \end{cases} \]
способом сложения, начнем с того, чтобы выразить одно из уравнений так, чтобы можно было подставить его в другое. Здесь мы будем избавляться от переменной \( y \).
Шаг 1. Преобразование первого уравнения
Из уравнения (1) выразим \( y \):
\[ y = 5x - 7 \quad (3) \]
Шаг 2. Подстановка
Теперь подставим выражение для \( y \) из (3) во второе уравнение (2):
\[ 3x + 2(5x - 7) = 12 \]
Шаг 3. Решение уравнения
Раскроем скобки:
\[ 3x + 10x - 14 = 12 \]
Сложим одночлены:
\[ 13x - 14 = 12 \]
Теперь добавим 14 к обеим сторонам уравнения:
\[ 13x = 12 + 14 \]
\[ 13x = 26 \]
Теперь поделим обе стороны на 13:
\[ x = \frac{26}{13} = 2 \]
Шаг 4. Нахождение \( y \)
Теперь, когда мы нашли \( x \), подставим его обратно в уравнение (3) для нахождения \( y \):
\[ y = 5(2) - 7 \]
\[ y = 10 - 7 = 3 \]
Ответ
Таким образом, мы получили решение системы уравнений:
\[ x = 2, \quad y = 3 \]
Это значит, что точка пересечения (решение системы) — это \( (2, 3) \).
Проверка
Чтобы убедиться в правильности, мы можем подставить найденные значения \( x \) и \( y \) обратно в оба уравнения:
- Проверим первое уравнение:
\[ 5(2) - 3 = 10 - 3 = 7 \quad \text{(верно)} \]
- Проверим второе уравнение:
\[ 3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12 \quad \text{(верно)} \]
Оба уравнения выполняются, значит решение верное.
