Самостоятельная работа по тема «Системы уравнений» алгебра 8 класс Варнант 1 2x - y = 4, x + y = 5. 1. Выберите одну из предложенных систем. И решите ее графическим способом 2x -…

Решим задачи по системам уравнений пошагово.

1. Графическое решение системы уравнений

Система уравнений: \[ \begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + y = 5 \end{cases} \]

Шаг 1: Преобразуем уравнения к виду y = ...

• Первое уравнение: \[ y = 2x - 4 \]
• Второе уравнение: \[ y = 5 - x \]

Шаг 2: Построим графики уравнений.

• Для первого уравнения \( y = 2x - 4 \):

  • При \( x = 0 \): \( y = -4 \) => точка (0, -4)
  • При \( x = 2 \): \( y = 0 \) => точка (2, 0)
  • При \( x = 4 \): \( y = 4 \) => точка (4, 4)

• Для второго уравнения \( y = 5 - x \):

  • При \( x = 0 \): \( y = 5 \) => точка (0, 5)
  • При \( x = 5 \): \( y = 0 \) => точка (5, 0)

Шаг 3: Построить графики на координатной плоскости.

Шаг 4: Найдем точку пересечения. Точка пересечения графиков уравнений — это решение системы. Если нарисовать графики, то видно, что они пересекаются в точке (3, 2).

2. Решение системы уравнений способом подстановки

Система уравнений: \[ \begin{cases} 2x + y = 17 \\ 4x + y = 3 \end{cases} \]

Шаг 1: Извлечем одно из уравнений для подстановки. Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = 17 - 2x \]

Шаг 2: Подставим \( y \) во второе уравнение. \[ 4x + (17 - 2x) = 3 \] \[ 4x + 17 - 2x = 3 \] \[ 2x + 17 = 3 \] \[ 2x = 3 - 17 \] \[ 2x = -14 \] \[ x = -7 \]

Шаг 3: Найдем \( y \) по найденному \( x \). \[ y = 17 - 2(-7) \] \[ y = 17 + 14 \] \[ y = 31 \]

Таким образом, решение: \( (x, y) = (-7, 31) \).

3. Решение системой уравнений способом сложения

Система уравнений: \[ \begin{cases} 4x - 3y = 7 \\ 5x + 3y = 2 \end{cases} \]

Шаг 1: Сложим два уравнения. Сложим оба уравнения: \[ (4x - 3y) + (5x + 3y) = 7 + 2 \] \[ 4x + 5x + (-3y + 3y) = 9 \] \[ 9x = 9 \] \[ x = 1 \]

Шаг 2: Подставим найденный \( x \) в одно из уравнений, чтобы найти \( y \). Подставим в первое уравнение: \[ 4(1) - 3y = 7 \] \[ 4 - 3y = 7 \] \[ -3y = 7 - 4 \] \[ -3y = 3 \] \[ y = -1 \]

Таким образом, решение: \( (x, y) = (1, -1) \).

4. Найдите стороны прямоугольника

Периметр \( P = 28 \, см \) и сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах \( S = 116 \, см^2 \).

Обозначим стороны прямоугольника как \( x \) и \( y \).

Шаг 1: Запишем уравнения.

1. Периметр: \[ 2x + 2y = 28 \rightarrow x + y = 14 \]
2. Сумма площадей: \[ x^2 + y^2 = 116 \]

Шаг 2: Решим систему. Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = 14 - x \]

Подставим во второе уравнение: \[ x^2 + (14 - x)^2 = 116 \] \[ x^2 + (196 - 28x + x^2) = 116 \] \[ 2x^2 - 28x + 196 - 116 = 0 \] \[ 2x^2 - 28x + 80 = 0 \] Разделим уравнение на 2: \[ x^2 - 14x + 40 = 0 \]

Шаг 3: Найдем корни с помощью дискриминанта. \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36 \] Корни: \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{14 \pm 6}{2} \]

1. \( x = \frac{20}{2} = 10 \)
2. \( x = \frac{8}{2} = 4 \)

Шаг 4: Найдем соответствующие \( y \). Если \( x = 10 \), то \( y = 14 - 10 = 4 \). Если \( x = 4 \), то \( y = 14 - 4 = 10 \).

Таким образом, стороны прямоугольника: \( x = 10 \, см \) и \( y = 4 \, см \) (или наоборот).

Если у вас есть еще вопросы или задачи, задавайте!