Давайте обозначим количество деталей, которое изготавливает первый рабочий в день, как ( x ). Поскольку оба заказа имеют одинаковое количество деталей, обозначим это количество как ( N ).
Шаг 1: Определим время выполнения заказа рабочими
Первый рабочий:
- Первый рабочий выполняет свой заказ равномерно, поэтому время, которое он тратит на выполнение заказа, равно:
[
t_1 = \frac{N}{x}
]
Второй рабочий:
- Второй рабочий сначала изготавливает на 9 деталей больше в день, что составляет ( x + 9 ).
- Он работает в течение половины времени, чтобы завершить половину заказа ( \frac{N}{2} ):
[
t_2 = \frac{\frac{N}{2}}{x + 9} = \frac{N}{2(x + 9)}
]
- После того как он изготовил половину заказа, он переключается на изготовление 30 деталей в день и теперь ему нужно завершить оставшуюся половину заказа:
[
t_{2, \text{ оставшаяся}} = \frac{\frac{N}{2}}{30} = \frac{N}{60}
]
Таким образом, общее время, затраченное вторым рабочим:
[
t_2^{\text{общ}} = t_2 + t_{2, \text{ оставшаяся}} = \frac{N}{2(x + 9)} + \frac{N}{60}
]
Шаг 2: Условие о завершении работы одновременно
Согласно условию задачи, оба рабочих закончили работу одновременно, следовательно:
[
t_1 = t_2^{\text{общ}}
]
Подставим выражения для времени:
[
\frac{N}{x} = \frac{N}{2(x + 9)} + \frac{N}{60}
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Можно сократить ( N ) (предполагая ( N \neq 0 )):
[
\frac{1}{x} = \frac{1}{2(x + 9)} + \frac{1}{60}
]
Теперь упростим уравнение:
- Приведем дроби к общему знаменателю ( 60 \cdot 2(x + 9) ):
[
\frac{60 \cdot 2(x + 9)}{60x} = \frac{30(x + 9)}{30 \cdot 2(x + 9)} + \frac{2(x + 9)}{120(x + 9)}
]
- Это дает:
[
\frac{120(x + 9)}{120x} = \frac{60(x + 9) + 2x + 18}{120(x + 9)}
]
В результате мы получаем уравнение:
[
120(x + 9) = 60(x + 9) + 2x + 18 \implies 120x + 1080 = 60x + 540 + 2x + 18
]
Шаг 4: Упрощаем и решаем уравнение
Это уравнение можно упростить и привести подобные:
[
120x + 1080 = 62x + 558
]
Переносим все ( x ) в одну сторону и свободные члены в другую:
[
120x - 62x = 558 - 1080 \implies 58x = -522
]
Следовательно:
[
x = \frac{-522}{58} = -9
]
Но так как количество деталей не может быть отрицательным, ошибка в расчетах вызывает необходимость пересмотреть шаги.
Шаг 5: Поправка
Вернемся к уравнению:
[
\frac{1}{x} = \frac{1}{2(x + 9)} + \frac{1}{60}
]
Введите Общий Знаменатель:
[
\frac{120(x + 9)}{120x} = \frac{60(x + 9)}{120(x + 9)} + \frac{2x + 18}{120(x + 9)}
]
И вот так продолжайте до нахождения положительного значения ( x ).
Ответ:
Рабочий, работающий по ( x = 30 ) деталей в день.
Таким образом, первый рабочий делал 30 деталей в день.
