Чтобы найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике с одним из углов, равным 60 градусам, и одним из катетов, равным 51 см, можем использовать тригономометрию.
Давайте обозначим:
- ( a ) — один из катетов, который равен 51 см,
- ( c ) — гипотенуза, которую нам нужно найти,
- ( A ) — угол, равный 60 градусам.
В прямоугольном треугольнике мы можем использовать соотношение между катетами и гипотенузой с помощью функций синуса или косинуса.
Шаг 1: Найдем длину гипотенузы
Согласно определению косинуса в прямоугольном треугольнике:
[
\cos(A) = \frac{соседний , катет}{гипотенуза}
]
Где:
- соседний катет — это катет, прилежащий к углу, равному 60 градусам.
Так как у нас есть катет, противолежащий углу:
[
\sin(60°) = \frac{противолежащий , катет}{гипотенуза}
]
То мы можем записать уравнение:
[
\sin(60°) = \frac{a}{c}
]
Шаг 2: Подставим известные значения
Знаем, что (\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}) и что ( a = 51 , см ):
[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{51}{c}
]
Шаг 3: Перепишем уравнение для нахождения гипотенузы
Теперь найдем ( c ):
[
c = \frac{51 \cdot 2}{\sqrt{3}}
]
Шаг 4: Упростим выражение
Теперь упростим:
[
c = \frac{102}{\sqrt{3}}
]
Для удобства можем рационализировать знаменатель:
[
c = \frac{102 \cdot \sqrt{3}}{3} = 34 \sqrt{3} , см
]
Шаг 5: Приближенное значение
Теперь вычислим приближенное значение:
[
\sqrt{3} \approx 1.732
]
Подставим:
[
c \approx 34 \cdot 1.732 \approx 58.888 , см
]
То есть длина гипотенузы примерно равна 58.89 см.
Ответ
Длина гипотенузы в этом прямоугольном треугольнике составляет приблизительно 58.89 см.
