Для решения данной задачи будем использовать систему уравнений, основанную на формуле для расчета скорости, времени и расстояния. Давайте обозначим:
- ( v ) — скорость моторной лодки в стоячей воде (км/ч);
- ( v_{t} = 1 ) км/ч — скорость течения реки.
1. Определение скорости лодки против течения и по течению:
- Против течения скорость лодки будет равна ( v - v_{t} = v - 1 ) км/ч.
- По течению скорость лодки будет равна ( v + v_{t} = v + 1 ) км/ч.
2. Выражение времени:
Согласно формуле ( \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} ), мы можем выразить время, затраченное на каждую часть пути:
3. Выражение общего времени:
Согласно условию задачи, общее время в пути составило 3 часа, поэтому:
[
t_{1} + t_{2} = 3
]
Подставим выражения для ( t_{1} ) и ( t_{2} ) в данное уравнение:
[
\frac{28}{v - 1} + \frac{16}{v + 1} = 3
]
4. Решение уравнения:
Теперь умножим все части уравнения на ( (v - 1)(v + 1) ) для избавления от дробей:
[
28(v + 1) + 16(v - 1) = 3(v - 1)(v + 1)
]
Раскроем скобки:
[
28v + 28 + 16v - 16 = 3(v^2 - 1)
]
[
44v + 12 = 3v^2 - 3
]
Преобразуем уравнение:
[
3v^2 - 44v - 15 = 0
]
5. Используем формулу квадратичного уравнения:
Теперь, чтобы найти ( v ), используем формулу для корней квадратного уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 3 ), ( b = -44 ), ( c = -15 ).
Расчитаем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-44)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 1936 + 180 = 2116
]
[
\sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46
]
Подставим значения в формулу:
[
v = \frac{44 \pm 46}{6}
]
Теперь найдем два возможных значения для ( v ):
- ( v = \frac{44 + 46}{6} = \frac{90}{6} = 15 )
- ( v = \frac{44 - 46}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} ) (отрицательное значение не имеет смысла в контексте скорости)
Таким образом, скорость моторной лодки в стоячей воде составляет ( 15 ) км/ч.
Ответ: Скорость моторной лодки в стоячей воде равна 15 км/ч.
