Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, предварительно сделав рисунок 1) y = x ^ 2 * (x >= 0) y = 1 y = 4 x = 0

Для решения задачи о вычислении площади фигуры, ограниченной заданными линиями, давайте сначала разберем, что представляют собой эти линии, затем нарисуем график и вычислим площадь. ### Шаг 1: Определение линий 1. **y = x² (x ≥ 0)**: Это парабола, открывающаяся вверх, и определяется только для неотрицательных x (то есть, для x = 0 и больше). 2. **y = 1**: Это горизонтальная прямая, проходящая через точку y = 1. 3. **y = 4**: Это еще одна горизонтальная прямая, проходящая через точку y = 4. 4. **x = 0**: Это вертикальная прямая, проходящая через ось y. ### Шаг 2: Построение графика На графике будет: - Парабола \(y = x^2\) ограниченная по оси x от 0. - Две горизонтальные линии \(y = 1\) и \(y = 4\). - Вертикальная линия \(x = 0\). ### Шаг 3: Определение точек пересечения Нам нужно найти, где парабола пересекает горизонтальные линии: 1. **Пересечение с \(y = 1\)**: \[ x^2 = 1 \implies x = 1 \quad (\text{так как } x \geq 0) \] 2. **Пересечение с \(y = 4\)**: \[ x^2 = 4 \implies x = 2 \quad (\text{так как } x \geq 0) \] Теперь у нас есть три ключевых точки: - A (0, 0) - B (1, 1) - C (2, 4) ### Шаг 4: Вычисление площади Площадь фигуры ограниченной этими линиями можно вычислить, как разность площадей между параболой и верхней горизонтальной линией. #### Площадь под параболой Площадь под \(y = x^2\) между \(x = 1\) и \(x = 2\) находим по определенному интегралу: \[ \text{Площадь} = \int_{1}^{2} (4 - x^2) \, dx \] #### Рассчитаем интеграл: 1. **Интегрируем**: \[ \int (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3} + C \] 2. **Подставим пределы**: \[ \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left( 4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4 \cdot 1 - \frac{1^3}{3} \right) \] Вычислим: - Для x = 2: \[ 4 \cdot 2 - \frac{8}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \] - Для x = 1: \[ 4 \cdot 1 - \frac{1}{3} = 4 - \frac{1}{3} = \frac{12}{3} - \frac{1}{3} = \frac{11}{3} \] Теперь подставим обратно: \[ \frac{16}{3} - \frac{11}{3} = \frac{5}{3} \] ### Итог Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна \(\frac{5}{3}\) квадратных единиц. ### Вывод Мы нашли площадь фигуры, ограниченной параболой и двумя горизонтальными линиями, используя интегрирование. Если у вас есть вопросы или дополнительные задачи, задавайте!