Давайте детально разберем задачу и найдем температуру стакана после того, как его наполнит кипятком.
Дано:
- Высота стакана ( h = 14 ) см
- Радиус основания ( R = 3 ) см = 0.03 м
- Толщина стенок стакана ( d = 4 ) мм = 0.004 м
- Начальная температура стакана ( T_{стакана} = 20 ) °C
- Температура кипятка ( T_{воды} = 100 ) °C
- Удельная теплоемкость алюминия ( c_{ал} = 920 ) Дж/(кг·°C)
- Удельная теплоемкость воды ( c_{вода} = 4200 ) Дж/(кг·°C)
- Плотность алюминия ( \rho_{ал} = 2700 ) кг/м³
- Плотность воды ( \rho_{вода} = 1000 ) кг/м³
Шаг 1: Вычисление объема алюминия
Стакан имеет форму цилиндра, высота ( h ) и наружный радиус ( R ). Для расчета объема стенок стакана учтем внутренний радиус ( r ):
[
r = R - d = 0.03 , \text{м} - 0.004 , \text{м} = 0.026 , \text{м}
]
Объем алюминия можно найти с помощью формулы:
[
V_{ал} = V_{наружный} - V_{внутренний}
]
Где:
- ( V_{наружный} = \pi R^2 h )
- ( V_{внутренний} = \pi r^2 h )
Теперь подставляем значения:
[
V_{наружный} = \pi (0.03)^2 (0.14) = \pi \cdot 0.0009 \cdot 0.14 \approx 0.000396 , \text{м}^3
]
[
V_{внутренний} = \pi (0.026)^2 (0.14) = \pi \cdot 0.000676 \cdot 0.14 \approx 0.000298 , \text{м}^3
]
Теперь можем найти объем алюминия:
[
V_{ал} = V_{наружный} - V_{внутренний} \approx 0.000396 - 0.000298 \approx 0.000098 , \text{м}^3
]
Шаг 2: Вычисление массы алюминия
Теперь находим массу алюминия:
[
m_{ал} = \rho_{ал} \cdot V_{ал} \approx 2700 \cdot 0.000098 \approx 0.2646 , \text{кг}
]
Шаг 3: Вычисление объема воды
Объём воды равен объёму внутреннего цилиндра:
[
V_{вода} = V_{внутренний} \approx 0.000298 , \text{м}^3
]
Теперь найдем массу воды:
[
m_{вода} = \rho_{вода} \cdot V_{вода} \approx 1000 \cdot 0.000298 \approx 0.298 , \text{кг}
]
Шаг 4: Применение формулы теплового баланса
Согласно принципу сохранения энергии, тепло, отданное водой, должно быть равно теплу, полученному алюминием:
[
m_{вода} \cdot c_{вода} \cdot (T_{воды} - T_{конечный}) = m_{ал} \cdot c_{ал} \cdot (T_{конечный} - T_{стакана})
]
Подставляем известные значения:
[
0.298 \cdot 4200 \cdot (100 - T_{конечный}) = 0.2646 \cdot 920 \cdot (T_{конечный} - 20)
]
Шаг 5: Решение уравнения
Упростим уравнение:
[
1259160 - 1259160T_{конечный} = 243.792T_{конечный} - 4875.84
]
Соберем все ( T_{конечный} ):
[
1259160 + 4875.84 = 243.792T_{конечный} + 1259160T_{конечный}
]
Надеюсь, вы понимаете, что на данный момент у нас получится сложное уравнение. Исходя из нашей задачи, ( T_{конечный} ) — это одна переменная, и все, что нужно сделать, это собрать коэффициенты.
Шаг 6: Обработка окончательного уравнения
Сложим все члены с ( T_{конечный} ):
[
1259160 + 4875.84 = T_{конечный}(243.792 + 1259160)
]
Затем решите для ( T_{конечный} ):
[
T_{конечный} = \frac{1259160 + 4875.84}{243.792 + 1259160} = ... \approx 99.3 , \text{°C}
]
Таким образом, температура стакана установится приблизительно на уровне 99.3 °C.
