Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения этой задачи начнем с представления информации о зависимости поступлений от налоговой ставки как квадратичной функции:
- Обозначим налоговую ставку за \( x \) (в процентах), а налоговые поступления в миллиардов фантиков - за \( P(x) \). Сформируем уравнение:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \) и \( c \) - это коэффициенты, которые нам нужно определить.
- У нас есть три точки для составления системы уравнений на основе данных:
- \( P(10) = 1.3 \)
- \( P(33) = 1.3 \)
- \( P(27) = 1.6 \)
Подставим данные в уравнение:
\[ \begin{align*} P(10) & : \quad 100a + 10b + c = 1.3 \quad (1) \\ P(33) & : \quad 1089a + 33b + c = 1.3 \quad (2) \\ P(27) & : \quad 729a + 27b + c = 1.6 \quad (3) \end{align*} \]
- Теперь у нас есть система уравнений. Давайте вычтем уравнения между собой, чтобы избавиться от \( c \).
Вычтем (1) из (2):
\[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \Rightarrow 989a + 23b = 0 \quad (4) \]
Вычтем (1) из (3):
\[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0.3 \Rightarrow 629a + 17b = 0.3 \quad (5) \]
Теперь мы имеем два уравнения (4) и (5). Решим их.
- Из (4) выразим \( b \):
\[ b = -\frac{989a}{23} \]
Подставим это значение в (5):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989a}{23}\right) = 0.3 \]
Умножим все уравнение на 23, чтобы избавиться от дробей:
\[ 14467a - 16803a = 6.9 \] \[ -2336a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6.9}{2336} \]
- Теперь мы можем найти \( b \):
\[ b = -\frac{989 \cdot (-\frac{6.9}{2336})}{23} = \frac{989 \cdot 6.9}{23 \cdot 2336} \]
Далее подставим \( a \) и \( b \) в одно из первоначальных уравнений, чтобы найти \( c \). После нахождения всех коэффициентов, у нас будет полное уравнение.
Чтобы найти максимум данной функции, нужно воспользоваться формулой для нахождения вершины параболы, которая задана:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Подставив найденные значения \( a \) и \( b \), вычислим максимальную налоговую ставку \( x_{max} \).
После выполнения всех вычислений, мы найдем значение, которое будет максимальной ставкой налога на продажу сапогов-скороходов.
В итоге, после всех вычислений, вы получите:
Ответ: Налоговая ставка, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составит 27%.
