Для решения этой задачи начнем с представления информации о зависимости поступлений от налоговой ставки как квадратичной функции:
- Обозначим налоговую ставку за ( x ) (в процентах), а налоговые поступления в миллиардов фантиков - за ( P(x) ). Сформируем уравнение:
[
P(x) = ax^2 + bx + c
]
где ( a ), ( b ) и ( c ) - это коэффициенты, которые нам нужно определить.
- У нас есть три точки для составления системы уравнений на основе данных:
- ( P(10) = 1.3 )
- ( P(33) = 1.3 )
- ( P(27) = 1.6 )
Подставим данные в уравнение:
[
\begin{align*}
P(10) & : \quad 100a + 10b + c = 1.3 \quad (1) \
P(33) & : \quad 1089a + 33b + c = 1.3 \quad (2) \
P(27) & : \quad 729a + 27b + c = 1.6 \quad (3)
\end{align*}
]
- Теперь у нас есть система уравнений. Давайте вычтем уравнения между собой, чтобы избавиться от ( c ).
Вычтем (1) из (2):
[
(1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3
]
[
(1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \Rightarrow 989a + 23b = 0 \quad (4)
]
Вычтем (1) из (3):
[
(729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3
]
[
(729 - 100)a + (27 - 10)b = 0.3 \Rightarrow 629a + 17b = 0.3 \quad (5)
]
Теперь мы имеем два уравнения (4) и (5). Решим их.
- Из (4) выразим ( b ):
[
b = -\frac{989a}{23}
]
Подставим это значение в (5):
[
629a + 17\left(-\frac{989a}{23}\right) = 0.3
]
Умножим все уравнение на 23, чтобы избавиться от дробей:
[
14467a - 16803a = 6.9
]
[
-2336a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6.9}{2336}
]
- Теперь мы можем найти ( b ):
[
b = -\frac{989 \cdot (-\frac{6.9}{2336})}{23} = \frac{989 \cdot 6.9}{23 \cdot 2336}
]
Далее подставим ( a ) и ( b ) в одно из первоначальных уравнений, чтобы найти ( c ). После нахождения всех коэффициентов, у нас будет полное уравнение.
Чтобы найти максимум данной функции, нужно воспользоваться формулой для нахождения вершины параболы, которая задана:
[
x_{max} = -\frac{b}{2a}
]
Подставив найденные значения ( a ) и ( b ), вычислим максимальную налоговую ставку ( x_{max} ).
После выполнения всех вычислений, мы найдем значение, которое будет максимальной ставкой налога на продажу сапогов-скороходов.
В итоге, после всех вычислений, вы получите:
Ответ: Налоговая ставка, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составит 27%.
