Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 3, либо кратным 5, либо тому и другому одновременно.

Чтобы найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 3, либо кратным 5, либо тому и другому одновременно, следуем следующему плану:

1. Определение двузначных чисел

Двузначные числа — это числа от 10 до 99. Таким образом, общее количество двузначных чисел можно вычислить как: \[ 99 - 10 + 1 = 90 \]

2. Найдем количество двузначных чисел, кратных 3

Чтобы найти двузначные числа, кратные 3, найдем первое и последнее двузначное число, кратное 3.

• Первое двузначное число, кратное 3: 12 (поскольку 10 и 11 не кратны 3).
• Последнее двузначное число, кратное 3: 99.

Чтобы вычислить количество таких чисел, используем формулу для количества членов арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \] где:

• \(a_1 = 12\) — первое число,
• \(d = 3\) — разность,
• \(a_n = 99\) — последнее число.

Решаем уравнение: \[ 99 = 12 + (n - 1) \cdot 3 \] \[ 99 - 12 = (n - 1) \cdot 3 \] \[ 87 = (n - 1) \cdot 3 \] \[ n - 1 = \frac{87}{3} = 29 \] \[ n = 30 \] Таким образом, двузначных чисел, кратных 3, — 30.

3. Найдем количество двузначных чисел, кратных 5

Аналогично, найдем двузначные числа, кратные 5.

• Первое двузначное число, кратное 5: 10.
• Последнее двузначное число, кратное 5: 95.

Решаем аналогичное уравнение: \[ 95 = 10 + (m - 1) \cdot 5 \] \[ 95 - 10 = (m - 1) \cdot 5 \] \[ 85 = (m - 1) \cdot 5 \] \[ m - 1 = \frac{85}{5} = 17 \] \[ m = 18 \] Таким образом, двузначных чисел, кратных 5, — 18.

4. Найдем количество двузначных чисел, кратных 15

Теперь найдем двузначные числа, кратные одновременно 3 и 5 (то есть 15).

• Первое двузначное число, кратное 15: 15.
• Последнее двузначное число, кратное 15: 90.

Решаем: \[ 90 = 15 + (k - 1) \cdot 15 \] \[ 90 - 15 = (k - 1) \cdot 15 \] \[ 75 = (k - 1) \cdot 15 \] \[ k - 1 = \frac{75}{15} = 5 \] \[ k = 6 \] Таким образом, двузначных чисел, кратных 15, — 6.

5. Используем формулу включения-исключения

Теперь находим количество чисел, кратных 3 или 5: \[ N(3 \cup 5) = N(3) + N(5) - N(3 \cap 5) \] Подставляем значения, которые мы нашли: \[ N(3 \cup 5) = 30 + 18 - 6 = 42 \]

6. Вычисляем вероятность

Теперь можем вычислить вероятность того, что случайно выбранное двузначное число будет кратным 3 или 5: \[ P = \frac{N(3 \cup 5)}{N(\text{все двузначные числа})} = \frac{42}{90} \]

Упрощаем дробь: \[ P = \frac{14}{30} = \frac{7}{15} \]

Ответ

Вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 3, либо кратным 5, либо тому и другому одновременно, составляет \(\frac{7}{15}\).