В равнобедренной трапеции с меньшим основанием 19 19 и высотой 25 25 тангенс острого угла равен 5 7 . 7 5 . Найдите большее основание трапеции.
Чтобы найти большее основание равнобедренной трапеции, сначала давайте разберемся с заданными данными и воспользуемся геометрическими свойствами.
Данные:
- Меньшее основание трапеции (b1) = 19
- Высота (h) = 25
- Тангенс острого угла (α) = 5/7
Схема: Построим равнобедренную трапецию ABCD, где:
- AB — меньшее основание (b1 = 19)
- CD — большее основание (b2)
- AD и BC — наклонные стороны (равны между собой, так как трапеция равнобедренная)
- h — высота трапеции, проведенная перпендикулярно к основаниям.
Находим сторону трапеции: Мы знаем, что тангенс угла α выражается как: \[ \tan(α) = \frac{\text{высота}}{\text{смещение по горизонтали}} \] В этом случае: \[ \tan(α) = \frac{h}{x} \] Где \(x\) — это смещение от основания меньшей трапеции к основанию большей (половина разности оснований, поскольку трапеция равнобедренная). Подставляем известные значения: \[ \frac{5}{7} = \frac{25}{x} \]
Решаем уравнение: Перемножаем крест-накрест: \[ 5x = 25 \cdot 7 \] \[ 5x = 175 \implies x = \frac{175}{5} = 35 \]
Находим большее основание: Так как \(x\) — это смещение, и у нас есть меньшая основа, то: \[ b2 = b1 + 2x \] Подставляем значение меньше основания и смещение: \[ b2 = 19 + 2 \cdot 35 = 19 + 70 = 89 \]
Ответ: Таким образом, большее основание трапеции равно 89.
