Чтобы решить неравенство ((x-5)(x+2)-(x-7)²≥18), давайте разберём его по шагам.
Шаг 1: Раскроем скобки
Начнем с раскрытия скобок в выражении слева:
((x-5)(x+2)):
[
= x^2 + 2x - 5x - 10 = x^2 - 3x - 10.
]
((x-7)²):
[
= x^2 - 14x + 49.
]
Теперь подставим эти результаты в наше неравенство:
[
x^2 - 3x - 10 - (x^2 - 14x + 49) ≥ 18.
]
Шаг 2: Упрощаем неравенство
Сократим выражение:
[
x^2 - 3x - 10 - x^2 + 14x - 49 ≥ 18.
]
Объединяем сходные члены:
[
(14x - 3x) + (-10 - 49) ≥ 18.
]
Это упрощается до:
[
11x - 59 ≥ 18.
]
Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону
Переносим 18 влево:
[
11x - 59 - 18 ≥ 0.
]
Получаем:
[
11x - 77 ≥ 0.
]
Шаг 4: Решаем неравенство
Решим неравенство:
[
11x ≥ 77.
]
Делим обе стороны на 11:
[
x ≥ 7.
]
Шаг 5: Итоговый ответ
Таким образом, решением неравенства ((x-5)(x+2)-(x-7)²≥18) является диапазон:
[
x \geq 7.
]
Проверка
Можно проверить, подставив значение, например, (x = 7):
[
(7-5)(7+2)-(7-7)² = 2 \cdot 9 - 0 = 18.
]
Таким образом, это значение соответствует условию.
Также возьмем значение меньше 7, например, (x = 6):
[
(6-5)(6+2)-(6-7)² = 1 \cdot 8 - 1 = 7 < 18.
]
Это показывает, что для значений меньше 7 неравенство не выполняется.
Заключение
Итак, окончательный ответ на неравенство:
[
x \geq 7.
]
