4) Решите неравенство: (x-5)(x+2)-(x-7)²≥18
Чтобы решить неравенство \((x-5)(x+2)-(x-7)²≥18\), давайте разберём его по шагам.
Шаг 1: Раскроем скобки
Начнем с раскрытия скобок в выражении слева:
\((x-5)(x+2)\): \[ = x^2 + 2x - 5x - 10 = x^2 - 3x - 10. \]
\((x-7)²\): \[ = x^2 - 14x + 49. \]
Теперь подставим эти результаты в наше неравенство: \[ x^2 - 3x - 10 - (x^2 - 14x + 49) ≥ 18. \]
Шаг 2: Упрощаем неравенство
Сократим выражение: \[ x^2 - 3x - 10 - x^2 + 14x - 49 ≥ 18. \] Объединяем сходные члены: \[ (14x - 3x) + (-10 - 49) ≥ 18. \] Это упрощается до: \[ 11x - 59 ≥ 18. \]
Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону
Переносим 18 влево: \[ 11x - 59 - 18 ≥ 0. \] Получаем: \[ 11x - 77 ≥ 0. \]
Шаг 4: Решаем неравенство
Решим неравенство: \[ 11x ≥ 77. \] Делим обе стороны на 11: \[ x ≥ 7. \]
Шаг 5: Итоговый ответ
Таким образом, решением неравенства \((x-5)(x+2)-(x-7)²≥18\) является диапазон: \[ x \geq 7. \]
Проверка
Можно проверить, подставив значение, например, \(x = 7\): \[ (7-5)(7+2)-(7-7)² = 2 \cdot 9 - 0 = 18. \] Таким образом, это значение соответствует условию.
Также возьмем значение меньше 7, например, \(x = 6\): \[ (6-5)(6+2)-(6-7)² = 1 \cdot 8 - 1 = 7 < 18. \] Это показывает, что для значений меньше 7 неравенство не выполняется.
Заключение
Итак, окончательный ответ на неравенство: \[ x \geq 7. \]
